$\triangle OAB$において、辺$OA$を$3:2$に内分する点を$C$、辺$AB$を$2:1$に内分する点を$D$、線分$BC$と線分$OD$の交点を$P$とする。 (1) $\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表せ。 (2) $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{CB}$ を変形し、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表せ。 (3) $OP:PD$を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$OA$を$3:2$に内分する点を$C$、辺$AB$を$2:1$に内分する点を$D$、線分$BC$と線分$OD$の交点を$P$とする。

(1) $\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表せ。

(2) $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{CB}$ を変形し、$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表せ。

(3) $OP:PD$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点$D$は辺$AB$を$2:1$に内分する点なので、内分点の公式より、

$\overrightarrow{OD} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OB}}{2+1} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$

(2) $\overrightarrow{OC} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$である。$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} - \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$である。

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{CB} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OB} - \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}) = (\frac{3}{5} - \frac{3}{5}t) \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}$

また、$P$は直線$OD$上にあるので、$\overrightarrow{OP} = k \overrightarrow{OD}$と表せる。

$\overrightarrow{OP} = k(\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}) = \frac{k}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2k}{3}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{3}{5} - \frac{3}{5}t = \frac{k}{3}$

$t = \frac{2k}{3}$

上の式に下の式を代入して、

$\frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{2k}{3} = \frac{k}{3}$

$\frac{3}{5} - \frac{2k}{5} = \frac{k}{3}$

$9 - 6k = 5k$

$11k = 9$

$k = \frac{9}{11}$

したがって、

$\overrightarrow{OP} = \frac{9}{11} \overrightarrow{OD} = \frac{9}{11} (\frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}) = \frac{3}{11} \overrightarrow{OA} + \frac{6}{11} \overrightarrow{OB}$

(3) $\overrightarrow{OP} = \frac{9}{11} \overrightarrow{OD}$なので、

$OP:OD = 9:11$

よって、$OP:PD = 9:(11-9) = 9:2$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$

(2) $\overrightarrow{OP} = \frac{3}{11} \overrightarrow{OA} + \frac{6}{11} \overrightarrow{OB}$

(3) $OP:PD = 9:2$