三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺ABを2:1に内分する点をDとする。線分BCと線分ODの交点をPとするとき、以下の問いに答える。 (1) ベクトルODをベクトルOAとベクトルOBで表せ。 (2) ベクトルOP = ベクトルOC + t*ベクトルCB を変形し、ベクトルOPをベクトルOAとベクトルOBで表せ。 (3) OP:PDを求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺ABを2:1に内分する点をDとする。線分BCと線分ODの交点をPとするとき、以下の問いに答える。

(1) ベクトルODをベクトルOAとベクトルOBで表せ。

(2) ベクトルOP = ベクトルOC + t*ベクトルCB を変形し、ベクトルOPをベクトルOAとベクトルOBで表せ。

(3) OP:PDを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Dは辺ABを2:1に内分するので、内分点の公式より

$\overrightarrow{OD} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OB}}{2+1} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$

(2) 点Cは辺OAを3:2に内分するので、

$\overrightarrow{OC} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$

また、

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} - \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$

よって、

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t \overrightarrow{CB} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OB} - \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}) = (\frac{3}{5} - \frac{3}{5}t) \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}$

点Pは線分OD上にあるので、ある実数kを用いて

$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OD} = k(\frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}) = \frac{k}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2k}{3} \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{3}{5} - \frac{3}{5}t = \frac{k}{3}$

$t = \frac{2k}{3}$

これらを連立して解くと、

$\frac{3}{5} - \frac{3}{5}(\frac{2k}{3}) = \frac{k}{3}$

$\frac{3}{5} - \frac{2k}{5} = \frac{k}{3}$

$\frac{9}{15} - \frac{6k}{15} = \frac{5k}{15}$

$9 - 6k = 5k$

$11k = 9$

$k = \frac{9}{11}$

よって、

$\overrightarrow{OP} = \frac{9}{11} \overrightarrow{OD}$

(3) $\overrightarrow{OP} = \frac{9}{11} \overrightarrow{OD}$より、

$OP:OD = 9:11$

$OD = OP + PD$なので、$OP:PD = 9:(11-9) = 9:2$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$

(2) $\overrightarrow{OP} = \frac{3}{11} \overrightarrow{OA} + \frac{6}{11} \overrightarrow{OB}$

(3) $OP:PD = 9:2$