(1) 多項式 $P(x) = x^3 - ax - 2$ が $x-2$ で割り切れるとき、$a$ の値を求める。 (2) 多項式 $P(x) = x^4 + 5x^2 + a^2x + 2a$ を $x+1$ で割ると 3 余るとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x) = x^3 - ax - 2$ が $x-2$ で割り切れるとき、$a$ の値を求める。

(2) 多項式 $P(x) = x^4 + 5x^2 + a^2x + 2a$ を $x+1$ で割ると 3 余るとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$P(x)$ が $x-2$ で割り切れるので、剰余の定理より $P(2) = 0$ となる。

$P(2) = 2^3 - a(2) - 2 = 8 - 2a - 2 = 6 - 2a = 0$

これを解いて $2a = 6$ より $a = 3$

(2)

$P(x)$ を $x+1$ で割ると 3 余るので、剰余の定理より $P(-1) = 3$ となる。

$P(-1) = (-1)^4 + 5(-1)^2 + a^2(-1) + 2a = 1 + 5 - a^2 + 2a = 6 - a^2 + 2a = 3$

これを整理すると

$a^2 - 2a - 3 = 0$

$(a-3)(a+1) = 0$

よって $a = 3$ または $a = -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $a = 3, -1$