与えられた連立一次方程式を解き、解をベクトルの和の形で表す問題です。3つの連立一次方程式が与えられています。 (1) $\begin{cases} x + y + z + w = 1 \\ x + z - w = 2 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + 3y - 4z = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$ (3) $x + y - z = 2$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、解をベクトルの和の形で表す問題です。3つの連立一次方程式が与えられています。

(1) $\begin{cases} x + y + z + w = 1 \\ x + z - w = 2 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + 3y - 4z = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$

(3) $x + y - z = 2$

2. 解き方の手順

(1)

連立一次方程式を解きます。

$x + y + z + w = 1$ (1)

$x + z - w = 2$ (2)

(1) - (2)より、 $y + 2w = -1$。よって、$y = -1 - 2w$。

(2)より、$x = 2 - z + w$。

$z$と$w$を任意定数とすると、

$x = 2 - z + w$

$y = -1 - 2w$

$z = z$

$w = w$

ベクトルで表すと、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + w \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2)

連立一次方程式を解きます。

$x + y - z = 1$ (1)

$2x + 3y - 4z = 5$ (2)

$x + y = 3$ (3)

(3)より、$y = 3 - x$。

(1)に代入すると、$x + 3 - x - z = 1$となり、$z = 2$。

(2)に代入すると、$2x + 3y - 4(2) = 5$。$2x + 3y = 13$。

$y = 3 - x$を代入すると、$2x + 3(3 - x) = 13$。$2x + 9 - 3x = 13$。$-x = 4$。$x = -4$。

$y = 3 - (-4) = 7$。

よって、$x = -4$, $y = 7$, $z = 2$。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

(3)

方程式を解きます。

$x + y - z = 2$

$x + y = 2 + z$

$z$を任意定数とすると、$x = 2 + z - y$。

$y$と$z$を任意定数とすると、

$x = 2 + z - y$

$y = y$

$z = z$

ベクトルで表すと、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + w \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$