原点 (0, 0) に点 A がある。サイコロを振って出た目によって点 A を移動させる。 - 1～3が出たら、x軸の正の方向に+1進む (確率 1/2)。 - 4が出たら、点Aは移動しない (確率 1/6)。 - 5～6が出たら、y軸の正の方向に+1進む (確率 1/3)。 (1) 2回の試行で点Aが(1, 1)にいる確率、および (0, 1) にいる確率を求める。 (2) 3回の試行で点Aが(2, 0)にいる確率を求める。 (3) 4回の試行を行い、4回目の試行で点Aが(2, 1)にいるとき、3回目の試行で点Aが(2, 0)にいたときの条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

原点 (0, 0) に点 A がある。サイコロを振って出た目によって点 A を移動させる。

- 1～3が出たら、x軸の正の方向に+1進む (確率 1/2)。

- 4が出たら、点Aは移動しない (確率 1/6)。

- 5～6が出たら、y軸の正の方向に+1進む (確率 1/3)。

(1) 2回の試行で点Aが(1, 1)にいる確率、および (0, 1) にいる確率を求める。

(2) 3回の試行で点Aが(2, 0)にいる確率を求める。

(3) 4回の試行を行い、4回目の試行で点Aが(2, 1)にいるとき、3回目の試行で点Aが(2, 0)にいたときの条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2回の試行で(1, 1)にいる確率：

1回目にx方向に+1、2回目にy方向に+1進むか、1回目にy方向に+1、2回目にx方向に+1進む。

$P((1,1)) = (1/2)*(1/3) + (1/3)*(1/2) = 1/6 + 1/6 = 1/3$

2回の試行で(0, 1)にいる確率：

1回目に移動せず、2回目にy方向に+1進む。または、1回目にy方向に+1進み、2回目に移動しない。

$P((0,1)) = (1/6)*(1/3) + (1/3)*(1/6) = 1/18 + 1/18 = 1/9$

(2) 3回の試行で(2, 0)にいる確率：

3回の試行でx軸方向に2、移動しないが1回。

(x, x, 動かない)、(x, 動かない, x)、(動かない, x, x) の3パターン。

$P((2,0)) = 3 * (1/2)^2 * (1/6) = 3 * (1/4) * (1/6) = 3/24 = 1/8$

(3) 4回目の試行で(2, 1)にいるとき、3回目の試行で(2, 0)にいた条件付き確率：

求める条件付き確率は、 $P(\text{3回目に}(2,0) | \text{4回目に}(2,1))$ 。

これは、$P(\text{3回目に}(2,0) \text{かつ 4回目に}(2,1)) / P(\text{4回目に}(2,1))$ で求められる。

まず、4回目の試行で(2, 1)にいる確率を計算する。

4回でx方向に2, y方向に1。残り1回は移動しない。

可能性のあるケース：

(x, x, y, 動かない), (x, x, 動かない, y), (x, y, x, 動かない), (x, y, 動かない, x), (x, 動かない, x, y), (x, 動かない, y, x), (y, x, x, 動かない), (y, x, 動かない, x), (y, 動かない, x, x), (動かない, x, x, y), (動かない, x, y, x), (動かない, y, x, x)

$(1/2)^2 * (1/3) * (1/6)$ の係数は12。

$P(\text{4回目に}(2,1)) = 12 * (1/4) * (1/3) * (1/6) = 12/72 = 1/6$

次に、3回目に(2, 0)にいて、4回目に(2, 1)にいる確率を計算する。

3回目に(2,0)にいる確率は(2)で計算した通り、$1/8$。

4回目にy方向に+1進む必要があるので、確率$1/3$。

$P(\text{3回目に}(2,0) \text{かつ 4回目に}(2,1)) = (1/8) * (1/3) = 1/24$

したがって、条件付き確率は、

$P(\text{3回目に}(2,0) | \text{4回目に}(2,1)) = (1/24) / (1/6) = (1/24) * 6 = 6/24 = 1/4$

3. 最終的な答え

(1) 点Aが(1, 1)にいる確率: 1/3

点Aが(0, 1)にいる確率: 1/9

(2) 点Aが(2, 0)にいる確率: 1/8

(3) 条件付き確率: 1/4