7つのデータ $187, 135, 146, 185, a, 172, b$ が与えられており、これらのデータの平均値が157、中央値が163である。また、$a < b$ であるとき、$a, b$ の値と、このデータの四分位範囲を求める。

1. 問題の内容

7つのデータ $187, 135, 146, 185, a, 172, b$ が与えられており、これらのデータの平均値が157、中央値が163である。また、$a < b$ であるとき、$a, b$ の値と、このデータの四分位範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平均値が157であることから、$a$ と $b$ の関係式を求める。

データの総和は $187 + 135 + 146 + 185 + a + 172 + b = 825 + a + b$ である。

平均値はデータの総和をデータ数で割ったものなので、

$\frac{825 + a + b}{7} = 157$

$825 + a + b = 157 \times 7 = 1099$

$a + b = 1099 - 825 = 274$

(2) 中央値が163であることから、$a$ と $b$ の値の候補を絞る。

まず、与えられた数値を小さい順に並べると

$135, 146, 172, 185, 187$

これに $a, b$ を加えた7つのデータの中央値が163なので、並べ替えたデータの中央、つまり4番目の値が163となる。$a < b$ に注意しながら、場合分けを行う。

ケース1: $a,b$ が 163より小さい場合

並べ替えると $a,b,135,146,172,185,187$。中央値は146となり、不適。

ケース2: $a < 163 < b$ の場合

$135, 146, a, 163, 172, 185, 187$とはならない。

ケース3: $a, b > 163$ の場合

$a < b$ より、$135, 146, x, y, 172, 185, 187$とはならない。

$135, 146, 172, 185, 187$ に、$a, b$ を加えて並べた中央値が163になるように、$a, b$ の値を考える。

$a < b$ で、$a, b$を含めた7つのデータの中央値が163なので、$135, 146, a, b, 172, 185, 187$または、$135, 146, a, 172, b, 185, 187$などが考えられる。

元々ある数値に、$a, b$を追加して並び替えたとき、4番目に163が来なければならないので、$a$は163以下の値、$b$は163以上の値となる必要がある。

もし、$a<146$ なら、$135, a, 146, \dots$ となり、中央値は172以上になる。

$a + b = 274$ と中央値が163という条件から、$a$ と $b$ を決定する。並び替えたデータが $135, 146, a, 172, 185, 187, b$ であれば中央値は172となるので不適。

$135, 146, a, 163, 172, 185, 187$とはならない。$a,b$は与えられた数値ではない。

中央値が163となる並びは、$135, 146, a, b, 172, 185, 187$ ではない。

並び替えた結果、$135, 146, a, 163, 172, 185, 187$ となる場合は、$b = 163$ となるが、$a+b = 274$ より、$a = 274 - 163 = 111$ となり、並び替えの結果、$111, 135, 146, 163, 172, 185, 187$ となる。中央値は163。

(3) 四分位範囲を求める。

データの並びは、$111, 135, 146, 163, 172, 185, 187$ である。

第一四分位数は、$(135+146)/2 = 140.5$

第三四分位数は、$(172+185)/2 = 178.5$

四分位範囲は、$178.5 - 140.5 = 38$

3. 最終的な答え

$a = 111$

$b = 163$

四分位範囲は $38$