ある病原菌を検出する検査法について、以下の確率を求めます。 (1) 陽性と判定される確率。 (2) 陽性と判定されたときに、実際には病原菌がいない確率。 ただし、 - 病原菌がいるときに、陰性と誤って判定される確率は1%。 - 病原菌がいないときに、陽性と誤って判定される確率は2%。 - 全体の1%にこの病原菌がいるとされています。

1. 問題の内容

ある病原菌を検出する検査法について、以下の確率を求めます。

(1) 陽性と判定される確率。

(2) 陽性と判定されたときに、実際には病原菌がいない確率。

ただし、

- 病原菌がいるときに、陰性と誤って判定される確率は1%。

- 病原菌がいないときに、陽性と誤って判定される確率は2%。

- 全体の1%にこの病原菌がいるとされています。

2. 解き方の手順

(1) 陽性と判定される確率を求める。

- 病原菌がいる事象をA、陽性と判定される事象をBとする。

- 病原菌がいる確率 $P(A) = \frac{1}{100}$

- 病原菌がいない確率 $P(\overline{A}) = \frac{99}{100}$

- 病原菌がいるときに陽性と判定される確率 $P_A(B) = \frac{99}{100}$ (1%が陰性なので)

- 病原菌がいないときに陽性と判定される確率 $P_{\overline{A}}(B) = \frac{2}{100}$

- 陽性と判定される確率は、病原菌がいて陽性と判定される場合と、病原菌がいなくて陽性と判定される場合の和で求められる。

- $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$

- $P(B) = \frac{1}{100} \times \frac{99}{100} + \frac{99}{100} \times \frac{2}{100} = \frac{99}{10000} + \frac{198}{10000} = \frac{297}{10000}$

(2) 陽性と判定されたときに、実際には病原菌がいない確率を求める。

- これは条件付き確率 $P_B(\overline{A})$ を求める問題である。

- $P_B(\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)}$

- $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B) = \frac{99}{100} \times \frac{2}{100} = \frac{198}{10000}$

- $P_B(\overline{A}) = \frac{\frac{198}{10000}}{\frac{297}{10000}} = \frac{198}{297} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 陽性と判定される確率: $\frac{297}{10000}$

(2) 陽性と判定されたときに、実際には病原菌がいない確率: $\frac{2}{3}$