ある地区で、新聞Aを購読している世帯は全体の50%, 新聞Bを購読している世帯は全体の60%, 両方を購読している世帯は全体の30%, どちらも購読していない世帯は8世帯であった。このとき、Aだけ購読している世帯は全体の何%か。また、この地区の世帯数を求めよ。

1. 問題の内容

ある地区で、新聞Aを購読している世帯は全体の50%, 新聞Bを購読している世帯は全体の60%, 両方を購読している世帯は全体の30%, どちらも購読していない世帯は8世帯であった。このとき、Aだけ購読している世帯は全体の何%か。また、この地区の世帯数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、各世帯の割合を定義します。

* Aのみを購読している世帯の割合: $p(A)$

* Bのみを購読している世帯の割合: $p(B)$

* AとBの両方を購読している世帯の割合: $p(A \cap B) = 30\% = 0.3$

* AもBも購読していない世帯の割合: $p(\overline{A \cup B})$

問題文より、

$p(A \cup B)$ = AまたはBを購読している割合 = 1 - AもBも購読していない割合

Aを購読している割合は50%, Bを購読している割合は60%であるから、

$p(A) = 50\% = 0.5$

$p(B) = 60\% = 0.6$

$p(A \cap B) = 30\% = 0.3$

$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = 0.5 + 0.6 - 0.3 = 0.8$

Aだけを購読している世帯の割合は、Aを購読している割合からAとBの両方を購読している割合を引けばよいので、

$p(A) - p(A \cap B) = 0.5 - 0.3 = 0.2$

したがって、Aだけを購読している世帯は全体の20%です。

どちらも購読していない世帯の割合は、$1 - p(A \cup B) = 1 - 0.8 = 0.2$ であり、これが8世帯に相当します。

したがって、全世帯数を$x$とすると、$0.2x = 8$。

$x = 8 / 0.2 = 40$

3. 最終的な答え

Aだけ購読している世帯は全体の20%。

この地区の世帯数は40。