袋Aには赤球3個、黄球2個が入っており、袋Bには白球3個、青球2個が入っている。 袋Aから2個の球を取り出したときの赤球の個数を確率変数$X$、袋Bから2個の球を取り出したときの青球の個数を確率変数$Y$とする。 このとき、$E(X+3Y)$, $E(XY)$, $V(X-3Y)$を求めよ。

1. 問題の内容

袋Aには赤球3個、黄球2個が入っており、袋Bには白球3個、青球2個が入っている。

袋Aから2個の球を取り出したときの赤球の個数を確率変数$X$、袋Bから2個の球を取り出したときの青球の個数を確率変数$Y$とする。

このとき、$E(X+3Y)$, $E(XY)$, $V(X-3Y)$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$と$Y$の確率分布を求める。次に、期待値$E(X), E(Y)$、分散$V(X), V(Y)$、共分散$Cov(X, Y)$を計算する。最後に、これらの値を用いて$E(X+3Y)$, $E(XY)$, $V(X-3Y)$を計算する。

(1) $X$の確率分布:

袋Aから2個の球を取り出す。赤球の個数$X$は0, 1, 2のいずれかの値をとる。

- $X=0$となる確率: 2個とも黄球を取り出す確率。

$P(X=0) = \frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

- $X=1$となる確率: 赤球1個、黄球1個を取り出す確率。

$P(X=1) = \frac{{}_3C_1 \cdot {}_2C_1}{{}_5C_2} = \frac{3 \cdot 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

- $X=2$となる確率: 2個とも赤球を取り出す確率。

$P(X=2) = \frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

(2) $Y$の確率分布:

袋Bから2個の球を取り出す。青球の個数$Y$は0, 1, 2のいずれかの値をとる。

- $Y=0$となる確率: 2個とも白球を取り出す確率。

$P(Y=0) = \frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

- $Y=1$となる確率: 白球1個、青球1個を取り出す確率。

$P(Y=1) = \frac{{}_3C_1 \cdot {}_2C_1}{{}_5C_2} = \frac{3 \cdot 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

- $Y=2$となる確率: 2個とも青球を取り出す確率。

$P(Y=2) = \frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

(3) 期待値と分散の計算:

- $E(X) = 0 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{6}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6+6}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

- $E(Y) = 0 \cdot \frac{3}{10} + 1 \cdot \frac{6}{10} + 2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{6+2}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

- $E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{10} + 1^2 \cdot \frac{6}{10} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6+12}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

- $E(Y^2) = 0^2 \cdot \frac{3}{10} + 1^2 \cdot \frac{6}{10} + 2^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{6+4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

- $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{9}{5} - (\frac{6}{5})^2 = \frac{9}{5} - \frac{36}{25} = \frac{45-36}{25} = \frac{9}{25}$

- $V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25}$

$X$と$Y$は独立なので、$Cov(X, Y) = 0$

(4) 求める値の計算:

- $E(X+3Y) = E(X) + 3E(Y) = \frac{6}{5} + 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{6+12}{5} = \frac{18}{5}$

- $E(XY) = E(X)E(Y) = \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$

- $V(X-3Y) = V(X) + (-3)^2V(Y) + 2(-3)Cov(X,Y) = V(X) + 9V(Y) - 6Cov(X,Y) = \frac{9}{25} + 9 \cdot \frac{9}{25} - 0 = \frac{9+81}{25} = \frac{90}{25} = \frac{18}{5}$

3. 最終的な答え

$E(X+3Y) = \frac{18}{5}$

$E(XY) = \frac{24}{25}$

$V(X-3Y) = \frac{18}{5}$