xy平面上の原点(0,0)に点Aがある。以下の試行を行う。 試行：1つのサイコロを振る。出た目によって点Aを移動させる。 ルール： - 1, 2, 3が出たら、x軸の正の方向に+1進める。 - 4が出たら、点Aは移動しない。 - 5, 6が出たら、y軸の正の方向に+1進める。 問題： (1) 2回の試行を行い、点Aが(1,1)にいる確率と、(0,1)にいる確率をそれぞれ求めよ。 (2) 3回の試行を行い、点Aが(2,0)にいる確率を求めよ。 (3) 4回の試行を行い、4回目の試行で点Aが(2,1)にいるとき、3回目の試行で(2,0)にいたときの条件付き確率を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上の原点(0,0)に点Aがある。以下の試行を行う。

試行：1つのサイコロを振る。出た目によって点Aを移動させる。

ルール：

- 1, 2, 3が出たら、x軸の正の方向に+1進める。

- 4が出たら、点Aは移動しない。

- 5, 6が出たら、y軸の正の方向に+1進める。

問題：

(1) 2回の試行を行い、点Aが(1,1)にいる確率と、(0,1)にいる確率をそれぞれ求めよ。

(2) 3回の試行を行い、点Aが(2,0)にいる確率を求めよ。

(3) 4回の試行を行い、4回目の試行で点Aが(2,1)にいるとき、3回目の試行で(2,0)にいたときの条件付き確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

x軸方向に+1進む確率は $3/6 = 1/2$。

y軸方向に+1進む確率は $2/6 = 1/3$。

移動しない確率は $1/6$。

点Aが(1,1)にいる場合：

- 1回目にx方向に+1、2回目にy方向に+1。確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$。

- 1回目にy方向に+1、2回目にx方向に+1。確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$。

よって、点Aが(1,1)にいる確率は $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$。

点Aが(0,1)にいる場合：

- 1回目にy方向に+1、2回目に移動しない。確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$。

- 1回目に移動しない、2回目にy方向に+1。確率は $\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$。

よって、点Aが(0,1)にいる確率は $\frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{1}{9}$。

(2)

点Aが(2,0)にいる場合：

- 3回ともx方向に+1進む。確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$。

- 2回x方向に+1進み、1回移動しない。進む順番は3通り。確率は $3 \times (\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{6} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$。

よって、点Aが(2,0)にいる確率は $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。

(3)

求める条件付き確率は $P(3回目に(2,0)にいる|4回目に(2,1)にいる)$。

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$を使用する。

$A$: 3回目に(2,0)にいる

$B$: 4回目に(2,1)にいる

$P(A \cap B)$: 3回目に(2,0)にいて、4回目に(2,1)にいる確率。

3回目に(2,0)にいる確率は(2)より $\frac{1}{4}$。

4回目にy方向に+1進む確率は $\frac{1}{3}$。

よって、$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$。

$P(B)$: 4回目に(2,1)にいる確率。

4回目に(2,1)にいるには、

- (2,1)に3回で到達して、4回目に移動しない。

- (2,0)に3回で到達して、4回目にy方向に+1。

- (1,1)に3回で到達して、4回目にx方向に+1。

- (1,0)に3回で到達して、4回目にx方向に+1、y方向に+1

3回目に(2,1)にいる確率は $3 \times (\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$

3回目に(2,0)にいる確率は $\frac{1}{4}$。

3回目に(1,1)にいる確率は上記参考

求める確率 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/12}{P(B)}$。

4回目における到達点を求めるのが難しい

3回目に(2,0)にいて、4回目に(2,1)にいる場合、$1/4 \cdot 1/3 = 1/12$

4回目に(2,1)にいるには、

(i)3回目に(2,0)にいて、4回目にy軸方向に+1。確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$。

(ii)3回目に(2,1)にいて、4回目に移動しない。確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{24}$。

(iii)3回目に(1,1)にいて、4回目にx軸方向に+1。確率は　わからないが x=1, y=1 にいる確率は $\frac{1}{3}$ , したがって 3回後 (1,1) にいる確率は 2 * 1/2 * 1/3 * 1/6 = 1/9　

$P(B) = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{18}$ が成り立つ

$P(A|B) = \frac{1/12}{1/12+1/24+1/18} = \frac{1/12}{\frac{6+3+4}{72}} = \frac{1/12}{13/72} = \frac{72}{12 \times 13} = \frac{6}{13}$

3. 最終的な答え

(1) 点Aが(1,1)にいる確率は $\frac{1}{3}$。点Aが(0,1)にいる確率は $\frac{1}{9}$。

(2) 点Aが(2,0)にいる確率は $\frac{1}{4}$。

(3) 条件付き確率は $\frac{6}{13}$。