大、中、小の3個のサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。 (1) 3つのサイコロの目が全て異なる場合 (2) 少なくとも2つのサイコロの目が同じ場合 (3) 3つのサイコロの目の積が3の倍数になる場合 (4) 3つのサイコロの目の和が奇数になる場合

1. 問題の内容

大、中、小の3個のサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。

(1) 3つのサイコロの目が全て異なる場合

(2) 少なくとも2つのサイコロの目が同じ場合

(3) 3つのサイコロの目の積が3の倍数になる場合

(4) 3つのサイコロの目の和が奇数になる場合

2. 解き方の手順

(1) 3つのサイコロの目が全て異なる場合

大のサイコロの目は6通りあります。中のサイコロの目は、大のサイコロの目と異なる必要があるので、5通りあります。小のサイコロの目は、大と中のサイコロの目と異なる必要があるので、4通りあります。よって、

$6 \times 5 \times 4 = 120$通りです。

(2) 少なくとも2つのサイコロの目が同じ場合

全ての目の出方は$6^3 = 216$通りです。

(1)で求めた「全て異なる」場合が120通りなので、全体から「全て異なる」場合を引けば、「少なくとも2つが同じ」場合が求まります。

$216 - 120 = 96$通りです。

(3) 3つのサイコロの目の積が3の倍数になる場合

3つのサイコロの目の積が3の倍数にならない場合を考えます。これは、3つのサイコロの目が全て3の倍数でない場合です。3の倍数でない目は1, 2, 4, 5の4つです。

よって、3つのサイコロの目が全て3の倍数でない場合は$4^3 = 64$通りです。

全体の目の出方は$6^3 = 216$通りなので、

$216 - 64 = 152$通りです。

(4) 3つのサイコロの目の和が奇数になる場合

3つのサイコロの目の和が奇数になるのは、

(i) 奇数、奇数、奇数

(ii) 奇数、偶数、偶数

(iii) 偶数、奇数、偶数

(iv) 偶数、偶数、奇数

のいずれかの場合です。奇数の目と偶数の目はそれぞれ3つずつあります。

(i)の場合、$3 \times 3 \times 3 = 27$通り

(ii)の場合、$3 \times 3 \times 3 = 27$通り

(iii)の場合、$3 \times 3 \times 3 = 27$通り

(iv)の場合、$3 \times 3 \times 3 = 27$通り

よって、合計で$27 + 27 + 27 + 27 = 108$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 96通り

(3) 152通り

(4) 108通り