確率変数 $X$ に対して、確率変数 $Y = 4X - 3$ の平均が0、標準偏差が1であるとき、$X$ の平均と分散を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ に対して、確率変数 $Y = 4X - 3$ の平均が0、標準偏差が1であるとき、$X$ の平均と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $Y$ の平均 $E[Y]$ と標準偏差 $\sigma_Y$ が与えられているので、これらを用いて確率変数 $X$ の平均 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求める。

$E[Y] = 0$、$\sigma_Y = 1$ が与えられている。

$Y = 4X - 3$ であるから、平均の線形性より、

$E[Y] = E[4X - 3] = 4E[X] - 3$

$E[Y] = 0$ より、

$4E[X] - 3 = 0$

$4E[X] = 3$

$E[X] = \frac{3}{4}$

次に、分散を考える。$V[Y] = \sigma_Y^2 = 1^2 = 1$

$V[Y] = V[4X - 3] = 4^2 V[X] = 16 V[X]$

したがって、

$16 V[X] = 1$

$V[X] = \frac{1}{16}$

3. 最終的な答え

$X$ の平均は $\frac{3}{4}$ であり、$X$ の分散は $\frac{1}{16}$ である。