右の図のような道のある町で、PからQまで遠回りをしないで行く場合の道順の総数を、以下の条件で求めます。 (1) Rを通って行く。 (2) ×印の箇所を通らないで行く。 (3) Rを通り、×印の箇所を通らないで行く。

1. 問題の内容

右の図のような道のある町で、PからQまで遠回りをしないで行く場合の道順の総数を、以下の条件で求めます。

(1) Rを通って行く。

(2) ×印の箇所を通らないで行く。

(3) Rを通り、×印の箇所を通らないで行く。

2. 解き方の手順

(1) Rを通って行く場合

PからRまでの道順は、右に2回、上に2回進むので、$\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

RからQまでの道順は、右に5回、上に3回進むので、$\frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通りです。

したがって、Rを通って行く道順は、$6 \times 56 = 336$通りです。

(2) ×印の箇所を通らないで行く場合

PからQまでのすべての道順は、右に6回、上に5回進むので、$\frac{11!}{6!5!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$通りです。

×印を通る道順を求めます。

Pから×印までの道順は、右に4回、上に2回進むので、$\frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。

×印からQまでの道順は、右に2回、上に3回進むので、$\frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

したがって、×印を通る道順は、$15 \times 10 = 150$通りです。

×印を通らないで行く道順は、$462 - 150 = 312$通りです。

(3) Rを通り、×印の箇所を通らないで行く場合

Rを通り×印を通る場合の数を求めます。

PからRまでの道順は6通りです。

Rから×印までの道順は、右に2回、上に1回進むので、$\frac{3!}{2!1!} = 3$通りです。

×印からQまでの道順は10通りです。

したがって、Rを通り×印を通る道順は、$6 \times 3 \times 10 = 180$通りです。

Rを通る道順の総数は336通り、Rを通り×印を通る道順の総数は180通りなので、Rを通り×印を通らない道順は、$336 - 180 = 156$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 336通り

(2) 312通り

(3) 156通り