座標平面上の原点(0, 0)に点Aがある。サイコロを振り、以下のルールに従って点Aを移動させる試行を行う。 - 1～3が出たら、x軸の正の方向に+1進む（確率 1/2）。 - 4が出たら、点Aは移動しない（確率 1/6）。 - 5～6が出たら、y軸の正の方向に+1進む（確率 1/3）。 (1) 2回の試行後、点Aが(1, 1)にいる確率と、(0, 1)にいる確率を求める。 (2) 3回の試行後、点Aが(2, 0)にいる確率を求める。 (3) 4回の試行後、点Aが(2, 1)にいるとき、3回目の試行で点Aが(2, 0)にいた条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の原点(0, 0)に点Aがある。サイコロを振り、以下のルールに従って点Aを移動させる試行を行う。

- 1～3が出たら、x軸の正の方向に+1進む（確率 1/2）。

- 4が出たら、点Aは移動しない（確率 1/6）。

- 5～6が出たら、y軸の正の方向に+1進む（確率 1/3）。

(1) 2回の試行後、点Aが(1, 1)にいる確率と、(0, 1)にいる確率を求める。

(2) 3回の試行後、点Aが(2, 0)にいる確率を求める。

(3) 4回の試行後、点Aが(2, 1)にいるとき、3回目の試行で点Aが(2, 0)にいた条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2回の試行後について考える。

- (1, 1)にいる場合：

1回目にx方向に移動し、2回目にy方向に移動する場合と、1回目にy方向に移動し、2回目にx方向に移動する場合がある。

確率はそれぞれ $(1/2) * (1/3)$なので、合計すると $2 * (1/2) * (1/3) = 1/3$

- (0, 1)にいる場合：

1回目に移動せず、2回目にy方向に移動する場合のみである。

確率は $(1/6) * (1/3) = 1/18$

(2) 3回の試行後について考える。

(2, 0)にいる場合：

3回のうち2回x方向に移動し、1回移動しない場合である。

3回のうち、x, x, 動かない の順番、x, 動かない, xの順番、動かない, x, xの順番になる。

確率は ${}_3C_2*(1/2)^2 * (1/6)^1 = 3*(1/4)*(1/6) = 1/8$

(3) 条件付き確率について考える。

4回目の試行後(2, 1)にいる事象をB、3回目の試行後(2, 0)にいる事象をAとする。求める条件付き確率は $P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)$である。

- $P(B)$ : 4回の試行で(2,1)にいる確率。

(i) x方向に2回、y方向に1回、動かない方向に1回

(ii) x方向に2回、y方向に2回、動かない方向に0回

確率を求めるのが面倒なので$P(A \cap B) / P(B)$を計算しやすくする。

$P(A \cap B)$ : 3回目に(2, 0)にいて、4回目に(2, 1)にいる確率。

つまり、3回目に(2,0)にいて、4回目にy軸方向に1進む確率。

これは、3回目に(2, 0)にいる確率と、4回目にy軸方向に1進む確率の積である。

$P(A \cap B) = (1/8) * (1/3) = 1/24$

$P(B)$ : 4回の試行で(2, 1)にいる確率を求める。

(x, x, y, 動かない)の並べ方 (並べ替え) + (x, x, y, y)

(i) の確率：${}_4C_2 * {}_2C_1 * {}_1C_1 * (1/2)^2 * (1/3)^1 * (1/6)^1 = 12 * (1/4) * (1/3) * (1/6) = 1/6$

(ii) の確率：${}_4C_2 * {}_2C_2 * (1/2)^2 * (1/3)^2 = 6 * (1/4) * (1/9) = 1/6$

$P(B) = 1/6 + 1/6 = 5/18$.

よって、$P(A|B) = (1/24)/(5/18) = (1/24)*(18/5) = 3/20$.

3. 最終的な答え

(1) (1, 1)にいる確率は 1/3, (0, 1)にいる確率は 1/18

(2) (2, 0)にいる確率は 1/8

(3) 条件付き確率は 3/20