問題1: 女子7人と男子5人の中から4人を選ぶとき、以下の選び方は何通りあるか。 (1) 特定の2人A, Bを必ず選ぶ。 (2) 特定の女子Pと特定の男子Qを含めて、女子2人、男子2人を選ぶ。 (3) 特定の女子Pを含めて女子2人、特定の男子Qを含めないで男子2人を選ぶ。 問題2: 異なる色の9個の玉を次のように分けるとき、分け方は何通りあるか。 (2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける。 (3) 3個ずつの3つの組に分ける。 (4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題1: 女子7人と男子5人の中から4人を選ぶとき、以下の選び方は何通りあるか。

(1) 特定の2人A, Bを必ず選ぶ。

(2) 特定の女子Pと特定の男子Qを含めて、女子2人、男子2人を選ぶ。

(3) 特定の女子Pを含めて女子2人、特定の男子Qを含めないで男子2人を選ぶ。

問題2: 異なる色の9個の玉を次のように分けるとき、分け方は何通りあるか。

(2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける。

(3) 3個ずつの3つの組に分ける。

(4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) 特定の2人A, Bを必ず選ぶ場合:

まずAとBを選ぶので、残りの2人を選ぶ必要がある。残りの人数は女子5人、男子5人の合計10人から2人を選ぶので、${}_{10}C_2$となる。

${}_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$通り

(2) 特定の女子Pと特定の男子Qを含めて、女子2人、男子2人を選ぶ場合:

女子Pは選ばれているので、残りの女子1人を選ぶ必要がある。女子は残り6人から1人を選ぶので、${}_6C_1$となる。男子Qは選ばれているので、残りの男子1人を選ぶ必要がある。男子は残り4人から1人を選ぶので、${}_4C_1$となる。

${}_6C_1 = 6$通り

${}_4C_1 = 4$通り

したがって、全部で$6 \times 4 = 24$通り

(3) 特定の女子Pを含めて女子2人、特定の男子Qを含めないで男子2人を選ぶ場合:

女子Pは選ばれているので、残りの女子1人を選ぶ必要がある。女子は残り6人から1人を選ぶので、${}_6C_1$となる。男子Qは選ばないという条件なので、残りの男子4人から2人を選ぶ必要がある。これは${}_4C_2$となる。

${}_6C_1 = 6$通り

${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り

したがって、全部で$6 \times 6 = 36$通り

問題2:

(2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける場合:

まず9個からAの組に入れる3個を選ぶ。これは${}_9C_3$通り。次に残りの6個からBの組に入れる3個を選ぶ。これは${}_6C_3$通り。最後に残りの3個はCの組に入れるので、${}_3C_3 = 1$通り。

したがって、${}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$通り

(3) 3個ずつの3つの組に分ける場合:

(2)と同じように考えると、${}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3 = 1680$通りとなるが、A, B, Cの区別がないので、3!で割る必要がある。

したがって、$\frac{1680}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$通り

(4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける場合:

まず9個から3個を選ぶ。これは${}_9C_3$通り。次に残りの6個から2個を選ぶ。これは${}_6C_2$通り。次に残りの4個から2個を選ぶ。これは${}_4C_2$通り。最後に残りの2個から2個を選ぶ。これは${}_2C_2 = 1$通り。2個の組は区別がないので、2個の組の数である3!で割る必要がある。

${}_9C_3 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1 = 84 \times 15 \times 6 \times 1 = 7560$通り

したがって、$\frac{7560}{3!} = \frac{7560}{6} = 1260$通り

3. 最終的な答え

問題1:

(1) 45通り

(2) 24通り

(3) 36通り

問題2:

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 1260通り