与えられた複素数 $\alpha = -2 - 2\sqrt{3}i$ と $\beta = -1 + i$ について、以下の問いに答えます。 - $\beta$, $\alpha\beta$, $\frac{\alpha}{\beta}$をそれぞれ極形式で表す。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とする。 - $\cos\frac{\pi}{12}$ と $\sin\frac{\pi}{12}$ の値を求める。ただし、$\alpha = 4(\cos\frac{4}{3}\pi + i\sin\frac{4}{3}\pi)$ は与えられています。

1. 問題の内容

与えられた複素数 $\alpha = -2 - 2\sqrt{3}i$ と $\beta = -1 + i$ について、以下の問いに答えます。

- $\beta$, $\alpha\beta$, $\frac{\alpha}{\beta}$をそれぞれ極形式で表す。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とする。

- $\cos\frac{\pi}{12}$ と $\sin\frac{\pi}{12}$ の値を求める。ただし、$\alpha = 4(\cos\frac{4}{3}\pi + i\sin\frac{4}{3}\pi)$ は与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$\beta$を極形式で表します。

$\beta = -1 + i$ の絶対値は $|\beta| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ です。

偏角 $\theta$ は $\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = \frac{3}{4}\pi$ です。

したがって、$\beta = \sqrt{2}(\cos\frac{3}{4}\pi + i\sin\frac{3}{4}\pi)$ となります。

次に、$\alpha\beta$ を計算します。

$\alpha = 4(\cos\frac{4}{3}\pi + i\sin\frac{4}{3}\pi)$ と $\beta = \sqrt{2}(\cos\frac{3}{4}\pi + i\sin\frac{3}{4}\pi)$ より、

$\alpha\beta = 4\sqrt{2}(\cos(\frac{4}{3}\pi + \frac{3}{4}\pi) + i\sin(\frac{4}{3}\pi + \frac{3}{4}\pi)) = 4\sqrt{2}(\cos(\frac{16+9}{12}\pi) + i\sin(\frac{25}{12}\pi)) = 4\sqrt{2}(\cos(\frac{25}{12}\pi) + i\sin(\frac{25}{12}\pi))$

$\frac{25}{12}\pi = 2\pi + \frac{1}{12}\pi$ であるので、$\alpha\beta = 4\sqrt{2}(\cos\frac{1}{12}\pi + i\sin\frac{1}{12}\pi)$ となります。

次に、$\frac{\alpha}{\beta}$ を計算します。

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{4(\cos\frac{4}{3}\pi + i\sin\frac{4}{3}\pi)}{\sqrt{2}(\cos\frac{3}{4}\pi + i\sin\frac{3}{4}\pi)} = \frac{4}{\sqrt{2}}(\cos(\frac{4}{3}\pi - \frac{3}{4}\pi) + i\sin(\frac{4}{3}\pi - \frac{3}{4}\pi)) = 2\sqrt{2}(\cos(\frac{16-9}{12}\pi) + i\sin(\frac{7}{12}\pi)) = 2\sqrt{2}(\cos\frac{7}{12}\pi + i\sin\frac{7}{12}\pi)$ となります。

$\alpha = -2 - 2\sqrt{3}i$ と $\beta = -1 + i$ より、$\alpha\beta = (-2 - 2\sqrt{3}i)(-1+i) = 2 - 2i + 2\sqrt{3}i - 2\sqrt{3}i^2 = 2 - 2i + 2\sqrt{3}i + 2\sqrt{3} = (2+2\sqrt{3}) + (-2+2\sqrt{3})i$

$4\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}) = (2+2\sqrt{3}) + (-2+2\sqrt{3})i$

$\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} = \frac{2+2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} + \frac{-2+2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}i = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}i = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} + \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}i$

$\cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\beta = \sqrt{2}(\cos\frac{3}{4}\pi + i\sin\frac{3}{4}\pi)$

$\alpha\beta = 4\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12})$

$\frac{\alpha}{\beta} = 2\sqrt{2}(\cos\frac{7}{12}\pi + i\sin\frac{7}{12}\pi)$

$\cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$