放物線 $y = x^2 + ax + b$ が第3象限を通らないとき、点 $(a, b)$ の存在する範囲を $ab$ 平面上に図示する問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + ax + b$ が第3象限を通らないとき、点 $(a, b)$ の存在する範囲を $ab$ 平面上に図示する問題です。

2. 解き方の手順

放物線 $y = x^2 + ax + b$ が第3象限を通らない条件を考えます。

第3象限を通らないとは、放物線と $x$ 軸, $y$ 軸との交点、頂点の位置関係から判断できます。

放物線が第3象限を通らない条件は、以下の3つの場合に分けられます。

(i) 放物線が $x$ 軸と交わらない場合

(ii) 放物線が $x$ 軸と接する場合

(iii) 放物線が $x$ 軸と2点で交わるが、その2つの交点が共に正または共に負の場合

まず、$y$ 切片について考えます。

$y = x^2 + ax + b$ の $y$ 切片は $x=0$ のときの $y$ の値なので、$y=b$ となります。

したがって、$b \geq 0$ である必要があります。

次に、$x$ 軸との交点について考えます。

$x^2 + ax + b = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = a^2 - 4b$ となります。

(i) $D < 0$ のとき、$x^2 + ax + b = 0$ は実数解を持たないため、$y = x^2 + ax + b$ は $x$ 軸と交わりません。このとき、$y = x^2 + ax + b$ は常に正であるので、第3象限を通ることはありません。

この条件は $a^2 - 4b < 0$、つまり $b > \frac{a^2}{4}$ です。

(ii) $D = 0$ のとき、$x^2 + ax + b = 0$ は重解 $x = -\frac{a}{2}$ を持ちます。このとき、$y = x^2 + ax + b$ は $x$ 軸と接します。

$x = -\frac{a}{2} \geq 0$ ならば、$a \leq 0$ であり、放物線は第3象限を通りません。

$x = -\frac{a}{2} < 0$ ならば、$a > 0$ であり、放物線は第3象限を通る可能性があります。

$a^2 - 4b = 0$ より、$b = \frac{a^2}{4}$ です。

$b \geq 0$ なので、$a$ の符号に関わらず、$b = \frac{a^2}{4}$ は常に成立します。

$a \le 0$ のとき、$b = \frac{a^2}{4}$ は第3象限を通らない条件を満たします。

(iii) $D > 0$ のとき、$x^2 + ax + b = 0$ は2つの実数解を持ちます。

解の公式より、2つの解は $x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$ となります。

放物線が第3象限を通らないためには、2つの解が共に正であるか、共に負である必要があります。

2つの解が共に正であるためには、解と係数の関係より、

$\frac{-a - \sqrt{a^2 - 4b}}{2} > 0$ かつ $\frac{-a + \sqrt{a^2 - 4b}}{2} > 0$ である必要があります。

しかし、$a^2 - 4b > 0$ より、$\sqrt{a^2 - 4b} > 0$ なので、常に $-a - \sqrt{a^2 - 4b} < -a + \sqrt{a^2 - 4b}$ となります。

したがって、$\frac{-a + \sqrt{a^2 - 4b}}{2} > 0$ のときのみを考えればよいことになります。

同様に、2つの解が共に負であるためには、$\frac{-a + \sqrt{a^2 - 4b}}{2} < 0$ かつ $\frac{-a - \sqrt{a^2 - 4b}}{2} < 0$ である必要があります。

$y$ 切片が正であるとき、$b > 0$ であり、放物線は必ず第3象限を通ります。

$y$ 切片が0であるとき、$b = 0$ であり、$x^2 + ax = x(x+a) = 0$ となるため、$x = 0, -a$ となります。

したがって、$a \geq 0$ であれば、第3象限を通りません。

まとめると、第3象限を通らない条件は、$b \geq \frac{a^2}{4}$ または $b \geq 0$ かつ $a \geq 0$ となります。

よって、$ab$ 平面上に、$b \geq \frac{a^2}{4}$ の領域を図示します。

3. 最終的な答え

$ab$ 平面上に、$b \geq \frac{a^2}{4}$ の領域を図示します。