問題は2つあります。 1つ目の問題は、AとBの箱に重さ12gの球を分け入れたところ、Aの箱の方が重かったが、1個球をBに移すとBの箱の方が重くなった。最初にAの箱に何個の球が入っていたかを求める問題です。 2つ目の問題は、7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る場合に、(1) 3桁の整数は何個作れるか、を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目の問題は、AとBの箱に重さ12gの球を分け入れたところ、Aの箱の方が重かったが、1個球をBに移すとBの箱の方が重くなった。最初にAの箱に何個の球が入っていたかを求める問題です。

2つ目の問題は、7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る場合に、(1) 3桁の整数は何個作れるか、を求める問題です。

2. 解き方の手順

1つ目の問題：

最初にAの箱に入っていた球の個数を $x$ とすると、Bの箱に入っていた球の個数は $21 - x$ と表せます。

最初の状態では、Aの箱の方が重いので、以下の不等式が成り立ちます。

$95 + 12x > 100 + 12(21 - x)$

球を1個AからBに移すと、Bの箱の方が重くなるので、以下の不等式が成り立ちます。

$95 + 12(x - 1) < 100 + 12(22 - x)$

これらの不等式を解きます。

最初の不等式を展開して整理します。

$95 + 12x > 100 + 252 - 12x$

$24x > 257$

$x > \frac{257}{24} \approx 10.7$

次の不等式を展開して整理します。

$95 + 12x - 12 < 100 + 264 - 12x$

$12x + 83 < 364 - 12x$

$24x < 281$

$x < \frac{281}{24} \approx 11.7$

したがって、$10.7 < x < 11.7$ となります。 $x$ は整数なので、$x = 11$ となります。

2つ目の問題：

3桁の整数を作るので、百の位、十の位、一の位の数字を決定する必要があります。

百の位には0以外の数字が入るので、6通りの選択肢があります。

十の位には、百の位で選んだ数字と0以外の数字が入るので、6通りの選択肢があります。

一の位には、百の位と十の位で選んだ数字以外の数字が入るので、5通りの選択肢があります。

したがって、3桁の整数の個数は、$6 \times 6 \times 5 = 180$ となります。

3. 最終的な答え

1つ目の問題の答え：11個

2つ目の問題の答え：180個