整数 $n$, 実数 $a$, $b$ があるとき、命題「$2a + 3b > 0$ ならば $a > 0$ または $b > 0$ である」を証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$, 実数 $a$, $b$ があるとき、命題「$2a + 3b > 0$ ならば $a > 0$ または $b > 0$ である」を証明する。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明する。

元の命題の対偶は「$a \le 0$ かつ $b \le 0$ ならば $2a + 3b \le 0$ である」となる。

$a \le 0$ かつ $b \le 0$ を仮定する。

$a \le 0$ より $2a \le 0$ であり、$b \le 0$ より $3b \le 0$ である。

したがって、

$2a + 3b \le 0 + 0 = 0$

よって、$2a + 3b \le 0$ が成り立つ。

これは対偶が真であることを示しているため、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

対偶「$a \le 0$ かつ $b \le 0$ ならば $2a + 3b \le 0$ である」が真なので、元の命題「$2a + 3b > 0$ ならば $a > 0$ または $b > 0$ である」も真である。

したがって、証明完了。