ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられており、その大きさは $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$ であり、内積は $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ である。 (1) $\vec{a}$ と同じ向きで、大きさが4のベクトルを $\vec{a}$ を用いて表す。 (2) $\vec{b}$ と平行な単位ベクトルを $\vec{b}$ を用いて表す。 (3) $|\vec{a} + \vec{b}|$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられており、その大きさは $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$ であり、内積は $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ である。

(1) $\vec{a}$ と同じ向きで、大きさが4のベクトルを $\vec{a}$ を用いて表す。

(2) $\vec{b}$ と平行な単位ベクトルを $\vec{b}$ を用いて表す。

(3) $|\vec{a} + \vec{b}|$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と同じ向きで大きさが4のベクトルは、$\vec{a}$ を単位ベクトルにした後、大きさを4倍すればよい。

$\vec{a}$ の単位ベクトルは $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{a}}{2}$ である。

したがって、求めるベクトルは

$4 \cdot \frac{\vec{a}}{2} = 2\vec{a}$

(2) $\vec{b}$ と平行な単位ベクトルは、$\vec{b}$ をその大きさで割ればよい。

したがって、求めるベクトルは

$\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\vec{b}}{3}$

(3) $|\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算し、その平方根を取ればよい。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$= 2^2 + 2 \cdot 5 + 3^2 = 4 + 10 + 9 = 23$

したがって、

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{23}$

3. 最終的な答え

(1) $2\vec{a}$

(2) $\frac{\vec{b}}{3}$

(3) $\sqrt{23}$