平面上に $OA = 1$, $OB = \sqrt{2}$, $\cos \angle AOB = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ である $\triangle OAB$ がある。辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $P$ とする。 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ を求め、$ \overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ を用いて表し、直線 $OP$ に関して点 $A$ と対称な点 $Q$ について、$\overrightarrow{OQ}$ を $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ を用いて表し、$\overrightarrow{AH}$ を $k$ を用いて表す。

1. 問題の内容

平面上に $OA = 1$, $OB = \sqrt{2}$, $\cos \angle AOB = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ である $\triangle OAB$ がある。辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $P$ とする。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ を求め、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ を用いて表し、直線 $OP$ に関して点 $A$ と対称な点 $Q$ について、$\overrightarrow{OQ}$ を $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ を用いて表し、$\overrightarrow{AH}$ を $k$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(ア), (イ) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |OA||OB| \cos \angle AOB = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

(ウ), (エ), (オ), (カ) 点 $P$ は辺 $AB$ を $1:2$ に内分するので,

$\overrightarrow{OP} = \frac{2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$.

$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{AH}$.

点 $H$ は $AQ$ の中点であるから、$\overrightarrow{OH} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OQ}}{2}$.

よって $\overrightarrow{OQ} = 2\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA}$.

点 $H$ は直線 $OP$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{OH} = k \overrightarrow{OP} = k(\frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB})$ と表される。

$\overrightarrow{OQ} = 2k(\frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}) - \overrightarrow{OA} = (\frac{4}{3}k - 1)\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}k\overrightarrow{OB}$.

したがって、$\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OA} = (\frac{4}{3}k - 2)\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}k\overrightarrow{OB}$.

$\overrightarrow{AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AQ} = (\frac{2}{3}k - 1)\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}k\overrightarrow{OB}$.

$\overrightarrow{AH} = \frac{1}{3}(2k-3)\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}k\overrightarrow{OB}$.

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2

ウ: 2

エ: 3

オ: 1

カ: 3

キ: 2

ク: 2

コ: 3

ケ: 3

サ: 1

シ: 3