与えられた線形代数の問題用紙に書かれた問題のうち、9番の問題を解く。 (1) $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ を求める。ただし、 $|\mathbf{a}| = 3$, $|\mathbf{b}| = 2$, $|\mathbf{a} - 2\mathbf{b}| = \sqrt{37}$ である。 (2) 2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた線形代数の問題用紙に書かれた問題のうち、9番の問題を解く。

(1) $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ を求める。ただし、 $|\mathbf{a}| = 3$, $|\mathbf{b}| = 2$, $|\mathbf{a} - 2\mathbf{b}| = \sqrt{37}$ である。

(2) 2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ を求める。

$|\mathbf{a} - 2\mathbf{b}|^2 = (\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - 2\mathbf{b})$ を計算する。

$|\mathbf{a} - 2\mathbf{b}|^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 4\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 4\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|^2 - 4\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 4|\mathbf{b}|^2$

与えられた条件より、 $|\mathbf{a} - 2\mathbf{b}|^2 = (\sqrt{37})^2 = 37$, $|\mathbf{a}|^2 = 3^2 = 9$, $|\mathbf{b}|^2 = 2^2 = 4$ を代入する。

$37 = 9 - 4\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 4(4)$

$37 = 9 - 4\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 16$

$37 = 25 - 4\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$

$4\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 25 - 37 = -12$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -3$

(2) 2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

内積の定義 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ を利用する。

$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -3$, $|\mathbf{a}| = 3$, $|\mathbf{b}| = 2$ を代入する。

$\cos\theta = \frac{-3}{3 \cdot 2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$ または $120^{\circ}$

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -3$

(2) $\theta = \frac{2\pi}{3}$