与えられた式 $6x^2 - xy - 12y^2 - x + 10y - 2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 - xy - 12y^2 - x + 10y - 2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$6x^2 - (y+1)x - (12y^2 - 10y + 2)$

次に、定数項 $12y^2 - 10y + 2$ を因数分解します。

$12y^2 - 10y + 2 = 2(6y^2 - 5y + 1) = 2(2y-1)(3y-1)$

したがって、与えられた式は

$6x^2 - (y+1)x - 2(2y-1)(3y-1)$

と書けます。

因数分解の形を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ と仮定し、係数を比較して因数分解します。

積が $6x^2$ になる組み合わせとして $(2x, 3x)$ と $(x, 6x)$ が考えられます。また、積が $-2(2y-1)(3y-1)$ になる組み合わせを考えます。

試行錯誤の結果、

$6x^2 - (y+1)x - 2(2y-1)(3y-1) = (2x - 3y + 1)(3x + 4y - 2)$

となることがわかります。

実際に展開して確認すると、

$(2x - 3y + 1)(3x + 4y - 2) = 6x^2 + 8xy - 4x - 9xy - 12y^2 + 6y + 3x + 4y - 2 = 6x^2 - xy - x - 12y^2 + 10y - 2$

となり、与えられた式と一致します。

3. 最終的な答え

$(2x - 3y + 1)(3x + 4y - 2)$