与えられた4つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を示す問題です。 (1) 複素数 $a$ の実部と虚部が共に正ならば、$a^2$ の虚部は正である。 (2) $xy = xz$ かつ $x \neq 0$ ならば、$y = z$ である。ただし、$x, y, z$ は実数とする。 (3) $x < 2$ ならば、$x^2 < 4$ である。ただし、$x$ は実数とする。 (4) $x^2 = x$ ならば、$x = 1$ である。ただし、$x$ は実数とする。

1. 問題の内容

与えられた4つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を示す問題です。

(1) 複素数 $a$ の実部と虚部が共に正ならば、$a^2$ の虚部は正である。

(2) $xy = xz$ かつ $x \neq 0$ ならば、$y = z$ である。ただし、$x, y, z$ は実数とする。

(3) $x < 2$ ならば、$x^2 < 4$ である。ただし、$x$ は実数とする。

(4) $x^2 = x$ ならば、$x = 1$ である。ただし、$x$ は実数とする。

2. 解き方の手順

(1)

複素数 $a$ を $a = p + qi$ （$p, q$ は実数）と表します。条件より、$p > 0$ かつ $q > 0$ です。

$a^2 = (p + qi)^2 = p^2 + 2pqi + (qi)^2 = p^2 - q^2 + 2pqi$

$a^2$ の虚部は $2pq$ です。$p > 0$ かつ $q > 0$ なので、$2pq > 0$ です。したがって、$a^2$ の虚部は正です。

よって、この命題は真です。

(2)

$xy = xz$ かつ $x \neq 0$ という条件から、$xy - xz = 0$ となります。

$x(y - z) = 0$

$x \neq 0$ なので、$y - z = 0$、つまり $y = z$ が成り立ちます。

よって、この命題は真です。

(3)

$x < 2$ ならば、$x^2 < 4$ であるか否か考えます。

$x$ が負の数の場合、$x < 2$ であっても $x^2$ が $4$ より大きくなることがあります。例えば、$x = -3$ とすると、$x < 2$ を満たしますが、$x^2 = (-3)^2 = 9 > 4$ となり、$x^2 < 4$ は満たしません。

したがって、この命題は偽です。反例は $x = -3$ です。

(4)

$x^2 = x$ ならば、$x = 1$ であるか否か考えます。

$x^2 = x$ より、$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = 1$ です。

したがって、$x^2 = x$ であっても $x = 1$ とは限りません。例えば、$x = 0$ の場合、$x^2 = 0^2 = 0 = x$ ですが、$x = 1$ ではありません。

したがって、この命題は偽です。反例は $x = 0$ です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 真

(3) 偽、反例：$x = -3$

(4) 偽、反例：$x = 0$