$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化すると、$\sqrt{5} + \sqrt{a}$ となる。このとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化すると、$\sqrt{5} + \sqrt{a}$ となる。このとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化する。

分母の共役である $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を分子と分母にかける。

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$

$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ を計算する。

これは $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の公式を利用できる。

$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

したがって、

$\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$

問題文より、分母を有理化した結果は $\sqrt{5} + \sqrt{a}$ である。

計算結果は $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ である。

よって、$\sqrt{5} + \sqrt{a} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ となるので、$a=3$ である。

3. 最終的な答え

$a = 3$