(1) $a + b + c = 0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立つことを示します。 (2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ のとき、$(ax + by)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ が成り立つことを示します。

1. 問題の内容

(1) $a + b + c = 0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立つことを示します。

(2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$ のとき、$(ax + by)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ が成り立つことを示します。

2. 解き方の手順

(1) $a + b + c = 0$ より、$c = -a - b$ です。この式を $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$ に代入して、左辺を計算します。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = a^3 + b^3 + (-a-b)^3 - 3ab(-a-b)$

$= a^3 + b^3 - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3a^2b + 3ab^2$

$= a^3 + b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3 + 3a^2b + 3ab^2$

$= 0$

よって、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立ちます。

(2) $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = k$ とおくと、$x = ak$、$y = bk$ となります。この式を $(ax + by)^2$ と $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ に代入して、それぞれ計算します。

$(ax + by)^2 = (a(ak) + b(bk))^2$

$= (a^2k + b^2k)^2$

$= (k(a^2 + b^2))^2$

$= k^2(a^2 + b^2)^2$

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (a^2 + b^2)((ak)^2 + (bk)^2)$

$= (a^2 + b^2)(a^2k^2 + b^2k^2)$

$= (a^2 + b^2)k^2(a^2 + b^2)$

$= k^2(a^2 + b^2)^2$

したがって、$(ax + by)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

(2) $(ax + by)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$