与えられた多項式をxについて積分します。積分する関数は $-8x^3 + 8x^2 - x + 6s^2 + 4t^2 - 1$ です。

1. 問題の内容

与えられた多項式をxについて積分します。積分する関数は $-8x^3 + 8x^2 - x + 6s^2 + 4t^2 - 1$ です。

2. 解き方の手順

各項を個別に積分します。定数 $6s^2$ と $4t^2$ は $x$ に関する積分では定数として扱われます。

積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を使用します。

$\int -8x^3 dx = -8 \cdot \frac{x^4}{4} = -2x^4$

$\int 8x^2 dx = 8 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{8}{3}x^3$

$\int -x dx = -\frac{x^2}{2}$

$\int 6s^2 dx = 6s^2x$

$\int 4t^2 dx = 4t^2x$

$\int -1 dx = -x$

これらをすべて合計し、積分定数 $C$ を加えます。

3. 最終的な答え

$\int (-8x^3 + 8x^2 - x + 6s^2 + 4t^2 - 1) dx = -2x^4 + \frac{8}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 6s^2x + 4t^2x - x + C$