関数 $f(x) = x + \frac{a}{x-1}$ （ただし $a \neq 0$）の極大値が $-1$ となるように、定数 $a$ の値を定める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x + \frac{a}{x-1}$ （ただし $a \neq 0$）の極大値が $-1$ となるように、定数 $a$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 1 - \frac{a}{(x-1)^2}$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$1 - \frac{a}{(x-1)^2} = 0$

$\frac{a}{(x-1)^2} = 1$

$(x-1)^2 = a$

$x-1 = \pm \sqrt{a}$

$x = 1 \pm \sqrt{a}$

(3) $f(x)$ が極大値を持つための条件を考える。

$f'(x)$ の符号が $x = 1 \pm \sqrt{a}$ の前後で変化する必要がある。

$x < 1-\sqrt{a}$ で $f'(x)>0$, $1-\sqrt{a} < x < 1+\sqrt{a}$で $f'(x)<0$, $x>1+\sqrt{a}$ で $f'(x)>0$ の場合、$x=1-\sqrt{a}$ で極大となる。このとき、$a>0$ である必要がある。

$a > 0$のとき、$x=1-\sqrt{a}$ において極大値を持ち、極大値は-1なので、$f(1-\sqrt{a})=-1$となる。

(4) $f(1-\sqrt{a}) = -1$を計算する。

$f(1-\sqrt{a}) = (1-\sqrt{a}) + \frac{a}{(1-\sqrt{a})-1} = 1-\sqrt{a} + \frac{a}{-\sqrt{a}} = 1 - \sqrt{a} - \sqrt{a} = 1 - 2\sqrt{a}$

$1 - 2\sqrt{a} = -1$

$2\sqrt{a} = 2$

$\sqrt{a} = 1$

$a = 1$

(5) $a=1$ のとき，$x = 1 \pm \sqrt{1} = 1 \pm 1$ なので，$x=0,2$

$f(x) = x + \frac{1}{x-1}$

$f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-1)^2}$

$f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}$

$x=0$ のとき，$f''(0) = \frac{2}{(-1)^3} = -2 < 0$ より，$x=0$ で極大

$x=2$ のとき，$f''(2) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$ より，$x=2$ で極小

$f(0) = 0 + \frac{1}{0-1} = -1$

3. 最終的な答え

$a = 1$