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次の4つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-3}^{3} (x-3)(x-1) dx$ (2) $\int_{-1}^{2} (x+1)^2(x-2) dx$ (3) $\int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} (x^2-2x-2) dx$ (4) $\int_{0}^{3} |x^2-1| dx$

解析学定積分積分絶対値多項式
2025/7/10
## 定積分の問題

1. **問題の内容**

次の4つの定積分を計算します。
(1) ∫−33(x−3)(x−1)dx\int_{-3}^{3} (x-3)(x-1) dx
(2) ∫−12(x+1)2(x−2)dx\int_{-1}^{2} (x+1)^2(x-2) dx
(3) ∫1−31+3(x2−2x−2)dx\int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} (x^2-2x-2) dx
(4) ∫03∣x2−1∣dx\int_{0}^{3} |x^2-1| dx

2. **解き方の手順**

(1) ∫−33(x−3)(x−1)dx\int_{-3}^{3} (x-3)(x-1) dx
まず、積分の中身を展開します。
(x−3)(x−1)=x2−4x+3(x-3)(x-1) = x^2 - 4x + 3
次に、不定積分を計算します。
∫(x2−4x+3)dx=13x3−2x2+3x+C\int (x^2 - 4x + 3) dx = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + C
最後に、定積分を計算します。
∫−33(x2−4x+3)dx=[13x3−2x2+3x]−33\int_{-3}^{3} (x^2 - 4x + 3) dx = [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x]_{-3}^{3}
=(13(3)3−2(3)2+3(3))−(13(−3)3−2(−3)2+3(−3))= (\frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3)) - (\frac{1}{3}(-3)^3 - 2(-3)^2 + 3(-3))
=(9−18+9)−(−9−18−9)= (9 - 18 + 9) - (-9 - 18 - 9)
=0−(−36)= 0 - (-36)
=36= 36
(2) ∫−12(x+1)2(x−2)dx\int_{-1}^{2} (x+1)^2(x-2) dx
まず、積分の中身を展開します。
(x+1)2(x−2)=(x2+2x+1)(x−2)=x3−2x2+2x2−4x+x−2=x3−3x−2(x+1)^2(x-2) = (x^2 + 2x + 1)(x-2) = x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + x - 2 = x^3 - 3x - 2
次に、不定積分を計算します。
∫(x3−3x−2)dx=14x4−32x2−2x+C\int (x^3 - 3x - 2) dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 - 2x + C
最後に、定積分を計算します。
∫−12(x3−3x−2)dx=[14x4−32x2−2x]−12\int_{-1}^{2} (x^3 - 3x - 2) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 - 2x]_{-1}^{2}
=(14(2)4−32(2)2−2(2))−(14(−1)4−32(−1)2−2(−1))= (\frac{1}{4}(2)^4 - \frac{3}{2}(2)^2 - 2(2)) - (\frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{3}{2}(-1)^2 - 2(-1))
=(4−6−4)−(14−32+2)= (4 - 6 - 4) - (\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2)
=−6−(1−6+84)= -6 - (\frac{1 - 6 + 8}{4})
=−6−34= -6 - \frac{3}{4}
=−274= -\frac{27}{4}
(3) ∫1−31+3(x2−2x−2)dx\int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} (x^2-2x-2) dx
不定積分を計算します。
∫(x2−2x−2)dx=13x3−x2−2x+C\int (x^2 - 2x - 2) dx = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 2x + C
定積分を計算します。
∫1−31+3(x2−2x−2)dx=[13x3−x2−2x]1−31+3\int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} (x^2-2x-2) dx = [\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 2x]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}
=(13(1+3)3−(1+3)2−2(1+3))−(13(1−3)3−(1−3)2−2(1−3))= (\frac{1}{3}(1+\sqrt{3})^3 - (1+\sqrt{3})^2 - 2(1+\sqrt{3})) - (\frac{1}{3}(1-\sqrt{3})^3 - (1-\sqrt{3})^2 - 2(1-\sqrt{3}))
ここで、(1+3)2=1+23+3=4+23 (1+\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}
(1+3)3=(1+3)(4+23)=4+23+43+6=10+63 (1+\sqrt{3})^3 = (1+\sqrt{3})(4+2\sqrt{3}) = 4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+6 = 10 + 6\sqrt{3}
(1−3)2=1−23+3=4−23 (1-\sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}
(1−3)3=(1−3)(4−23)=4−23−43+6=10−63 (1-\sqrt{3})^3 = (1-\sqrt{3})(4-2\sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 6 = 10 - 6\sqrt{3}
したがって、
(13(10+63)−(4+23)−(2+23))−(13(10−63)−(4−23)−(2−23))(\frac{1}{3}(10+6\sqrt{3}) - (4+2\sqrt{3}) - (2+2\sqrt{3})) - (\frac{1}{3}(10-6\sqrt{3}) - (4-2\sqrt{3}) - (2-2\sqrt{3}))
=(103+23−4−23−2−23)−(103−23−4+23−2+23)= (\frac{10}{3} + 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}) - (\frac{10}{3} - 2\sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3} - 2 + 2\sqrt{3})
=(103−6−23)−(103−6+23)= (\frac{10}{3} - 6 - 2\sqrt{3}) - (\frac{10}{3} - 6 + 2\sqrt{3})
=103−6−23−103+6−23= \frac{10}{3} - 6 - 2\sqrt{3} - \frac{10}{3} + 6 - 2\sqrt{3}
=−43= -4\sqrt{3}
(4) ∫03∣x2−1∣dx\int_{0}^{3} |x^2-1| dx
∣x2−1∣|x^2-1| は、x2−1≥0x^2 - 1 \ge 0 のとき x2−1x^2 - 1、x2−1<0x^2 - 1 < 0 のとき −(x2−1)-(x^2 - 1) となります。
x2−1=0x^2 - 1 = 0 となるのは x=±1x = \pm 1 のときです。
0≤x≤30 \le x \le 3 の範囲では、0≤x<10 \le x < 1 のとき ∣x2−1∣=1−x2|x^2-1| = 1-x^2、1≤x≤31 \le x \le 3 のとき ∣x2−1∣=x2−1|x^2-1| = x^2-1となります。
したがって、
∫03∣x2−1∣dx=∫01(1−x2)dx+∫13(x2−1)dx\int_{0}^{3} |x^2-1| dx = \int_{0}^{1} (1-x^2) dx + \int_{1}^{3} (x^2-1) dx
∫01(1−x2)dx=[x−13x3]01=(1−13)−(0−0)=23\int_{0}^{1} (1-x^2) dx = [x - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3}
∫13(x2−1)dx=[13x3−x]13=(13(3)3−3)−(13(1)3−1)=(9−3)−(13−1)=6−(−23)=6+23=203\int_{1}^{3} (x^2-1) dx = [\frac{1}{3}x^3 - x]_{1}^{3} = (\frac{1}{3}(3)^3 - 3) - (\frac{1}{3}(1)^3 - 1) = (9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1) = 6 - (-\frac{2}{3}) = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3}
∫03∣x2−1∣dx=23+203=223\int_{0}^{3} |x^2-1| dx = \frac{2}{3} + \frac{20}{3} = \frac{22}{3}

3. **最終的な答え**

(1) 36
(2) −274-\frac{27}{4}
(3) −43-4\sqrt{3}
(4) 223\frac{22}{3}

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