関数 $f(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $f'(x)$ を求める。 (2) $(x^2+1)f''(x) + xf'(x) = 0$ が成り立つことを示す。 (3) 任意の自然数 $n$ に対して、$(x^2+1)f^{(n+1)}(x) + (2n-1)xf^{(n)}(x) + (n-1)^2f^{(n-1)}(x) = 0$ が成り立つことを数学的帰納法によって証明する。ただし、$f^{(k)}(x)$ は $f(x)$ の第 $k$ 次導関数を表し、$f^{(0)}(x) = f(x)$ とする。 (4) $f^{(9)}(0)$ および $f^{(10)}(0)$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ に対して、以下の問題を解く。

(1) $f'(x)$ を求める。

(2) $(x^2+1)f''(x) + xf'(x) = 0$ が成り立つことを示す。

(3) 任意の自然数 $n$ に対して、$(x^2+1)f^{(n+1)}(x) + (2n-1)xf^{(n)}(x) + (n-1)^2f^{(n-1)}(x) = 0$ が成り立つことを数学的帰納法によって証明する。ただし、$f^{(k)}(x)$ は $f(x)$ の第 $k$ 次導関数を表し、$f^{(0)}(x) = f(x)$ とする。

(4) $f^{(9)}(0)$ および $f^{(10)}(0)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ を求める。

$f(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$ なので、合成関数の微分公式を用いる。

$f'(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot (1 + \frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x)$

$= \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot (\frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}}) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

(2) $(x^2+1)f''(x) + xf'(x) = 0$ が成り立つことを示す。

$f'(x) = (x^2+1)^{-1/2}$ なので、微分すると、

$f''(x) = -\frac{1}{2} (x^2+1)^{-3/2} \cdot 2x = -x(x^2+1)^{-3/2}$

$(x^2+1)f''(x) = (x^2+1)(-x(x^2+1)^{-3/2}) = -x(x^2+1)^{-1/2}$

よって、$(x^2+1)f''(x) + xf'(x) = -x(x^2+1)^{-1/2} + x(x^2+1)^{-1/2} = 0$

(3) 数学的帰納法で証明する。

$n=1$ のとき、与えられた式は $(x^2+1)f''(x) + xf'(x) + 0 = 0$ となり、(2)で示されているので成り立つ。

$n=k$ のとき成り立つと仮定する。すなわち、

$(x^2+1)f^{(k+1)}(x) + (2k-1)xf^{(k)}(x) + (k-1)^2f^{(k-1)}(x) = 0$ が成り立つと仮定する。

この式の両辺を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx} [(x^2+1)f^{(k+1)}(x) + (2k-1)xf^{(k)}(x) + (k-1)^2f^{(k-1)}(x)] = 0$

$2xf^{(k+1)}(x) + (x^2+1)f^{(k+2)}(x) + (2k-1)f^{(k)}(x) + (2k-1)xf^{(k+1)}(x) + (k-1)^2f^{(k)}(x) = 0$

$(x^2+1)f^{(k+2)}(x) + (2k+1)xf^{(k+1)}(x) + ((2k-1) + (k-1)^2)f^{(k)}(x) = 0$

$(x^2+1)f^{(k+2)}(x) + (2(k+1)-1)xf^{(k+1)}(x) + (k^2)f^{(k)}(x) = 0$

$(x^2+1)f^{(k+2)}(x) + (2(k+1)-1)xf^{(k+1)}(x) + ((k+1)-1)^2f^{(k)}(x) = 0$

これは、$n=k+1$ のときの式であるから、$n=k+1$ のときも成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、任意の自然数 $n$ に対して与えられた等式が成り立つ。

(4) $f^{(9)}(0)$ および $f^{(10)}(0)$ の値を求める。

$x=0$ を与えられた式に代入すると、

$(0^2+1)f^{(n+1)}(0) + (2n-1)(0)f^{(n)}(0) + (n-1)^2f^{(n-1)}(0) = 0$

$f^{(n+1)}(0) + (n-1)^2f^{(n-1)}(0) = 0$

$f^{(n+1)}(0) = -(n-1)^2f^{(n-1)}(0)$

$n=1$ のとき、$f''(0) = 0$

$n=2$ のとき、$f^{(3)}(0) = -1^2f'(0)$

$f'(x) = (x^2+1)^{-1/2}$ より、$f'(0) = 1$

$f^{(3)}(0) = -1$

$n=3$ のとき、$f^{(4)}(0) = -2^2f''(0) = 0$

$n=4$ のとき、$f^{(5)}(0) = -3^2f^{(3)}(0) = -9(-1) = 9$

$n=5$ のとき、$f^{(6)}(0) = -4^2f^{(4)}(0) = 0$

$n=6$ のとき、$f^{(7)}(0) = -5^2f^{(5)}(0) = -25(9) = -225$

$n=7$ のとき、$f^{(8)}(0) = -6^2f^{(6)}(0) = 0$

$n=8$ のとき、$f^{(9)}(0) = -7^2f^{(7)}(0) = -49(-225) = 11025$

$n=9$ のとき、$f^{(10)}(0) = -8^2f^{(8)}(0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

(2) $(x^2+1)f''(x) + xf'(x) = 0$

(3) 省略

(4) $f^{(9)}(0) = 11025$、 $f^{(10)}(0) = 0$