次の2つの和 $S$ をそれぞれ求めます。 (1) $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$ (2) $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

1. 問題の内容

次の2つの和 $S$ をそれぞれ求めます。

(1) $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

(2) $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

2. 解き方の手順

(1) $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$ の場合：

まず、 $S$ に $\frac{1}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}$

次に、$S$ から $\frac{1}{3}S$ を引きます。

$S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{3})^k - \frac{n}{3^n}$

等比数列の和の公式より、 $\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{3})^k = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}$

$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{3}{2}\frac{n}{3^n} = \frac{9}{4}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{3n}{2 \cdot 3^n} = \frac{9}{4} - \frac{9}{4 \cdot 3^n} - \frac{6n}{4 \cdot 3^n} = \frac{9}{4} - \frac{9+6n}{4 \cdot 3^n} = \frac{9}{4} - \frac{3(3+2n)}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9 \cdot 3^n - 3(3+2n)}{4 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+2} - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n}$

(2) $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$ の場合：

まず、$S$ に $x$ を掛けます。

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + \dots + (3n-5)x^{n-1} + (3n-2)x^n$

次に、$S$ から $xS$ を引きます。

$S - xS = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^n$

$(1-x)S = 1 + 3\sum_{k=1}^{n-1} x^k - (3n-2)x^n = 1 + 3\sum_{k=1}^{n-1} x^k - (3n-2)x^n$

等比数列の和の公式より、 $\sum_{k=1}^{n-1} x^k = \frac{x(1-x^{n-1})}{1-x}$

$(1-x)S = 1 + 3\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n$

$S = \frac{1}{1-x} + \frac{3x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2} - \frac{(3n-2)x^n}{1-x} = \frac{1-x + 3x - 3x^n - (3n-2)x^n(1-x)}{(1-x)^2} = \frac{1+2x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2} = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{3^{n+2} - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

(2) $S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$