関数 $f(x)$ が次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -2x + a & (x < 0) \end{cases}$ この関数が実数全体で連続になるように、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -2x + a & (x < 0) \end{cases}$

この関数が実数全体で連続になるように、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が連続であるためには、$x = 0$ で連続である必要があります。$x > 0$ および $x < 0$ では、それぞれ $x$ と $-2x + a$ という多項式で定義されているため、これらの範囲では連続です。したがって、$x = 0$ における連続性のみを調べれば十分です。

$x = 0$ で連続であるためには、以下の3つの条件が満たされる必要があります。

1. $f(0)$ が定義されていること。

2. $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在すること。

3. $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成立すること。

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = 0$

次に、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を計算します。これは、右側極限と左側極限が一致する必要があるため、それぞれを計算します。

右側極限:

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$

左側極限:

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x + a) = -2(0) + a = a$

$\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在するためには、右側極限と左側極限が等しくなければなりません。

$0 = a$

したがって、$a = 0$ のとき、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ となり、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成立します。

3. 最終的な答え

$a = 0$