関数 $y = \sin^{-1}(\sqrt{1-x})$ の導関数を求める問題です。ただし、定義域は $0 < x < 1$ とします。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^{-1}(\sqrt{1-x})$ の導関数を求める問題です。ただし、定義域は $0 < x < 1$ とします。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を使って導関数を求めます。

$y = \sin^{-1}(u)$ とおくと、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ です。

$u = \sqrt{1-x}$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ です。

合成関数の微分公式より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = \sqrt{1-x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{1-x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (1-x)}} \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right)$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$