関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^2} & (x \neq 0) \\ a & (x=0) \end{cases}$ $f(x)$が実数全体で定義された連続関数となるように、$a$の値を定める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^2} & (x \neq 0) \\ a & (x=0) \end{cases}$

$f(x)$が実数全体で定義された連続関数となるように、$a$の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の条件が満たされる必要があります。

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = a$ を満たす $a$ を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$

再び $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理をもう一度使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、$a = \frac{1}{2}$ となります。

別解として、マクローリン展開を使う方法もあります。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

なので、

$1 - \cos x = \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots$

$\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{4!} + \frac{x^4}{6!} - \cdots$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{2} - \frac{x^2}{4!} + \frac{x^4}{6!} - \cdots) = \frac{1}{2}$

よって、$a = \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$