関数 $f(x)$ に関する問題で、以下の3つの小問があります。 (1) $f(x) = x^2 e^x$ のとき、$f^{(100)}(1)$ を求めよ。 (2) $f(x) = \arctan x$ のとき、与えられた微分方程式を満たすように空欄（い）と（う）を埋め、$f^{(2m)}(0)$ と $f^{(2m+1)}(0)$ を求めよ。 (3) $f(x) = \log(1+x^2)$ のとき、$f^{(2m)}(0) = $（か）$f^{(2m-2)}(0)$を満たすように空欄（か）を埋め、$f^{(10)}(0)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ に関する問題で、以下の3つの小問があります。

(1) $f(x) = x^2 e^x$ のとき、$f^{(100)}(1)$ を求めよ。

(2) $f(x) = \arctan x$ のとき、与えられた微分方程式を満たすように空欄（い）と（う）を埋め、$f^{(2m)}(0)$ と $f^{(2m+1)}(0)$ を求めよ。

(3) $f(x) = \log(1+x^2)$ のとき、$f^{(2m)}(0) =$（か）$f^{(2m-2)}(0)$を満たすように空欄（か）を埋め、$f^{(10)}(0)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 e^x$ のとき、$f^{(100)}(1)$ を求める。

ライプニッツの公式より、(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} _n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}.

$f(x) = x^2 e^x$ で、 $u(x) = x^2$ , $v(x) = e^x$ とおく。

$u'(x) = 2x$, $u''(x) = 2$, $u^{(n)}(x) = 0$ for $n \geq 3$.

$v^{(n)}(x) = e^x$ for all $n$.

$f^{(n)}(x) = (x^2 e^x)^{(n)} = _n C_0 x^2 e^x + _n C_1 (2x) e^x + _n C_2 (2) e^x = x^2 e^x + 2nx e^x + n(n-1) e^x$.

$f^{(100)}(x) = x^2 e^x + 200x e^x + 100(99) e^x = (x^2 + 200x + 9900) e^x$.

$f^{(100)}(1) = (1 + 200 + 9900) e^1 = 10101e$.

(2) $f(x) = \arctan x$ について。

$(1+x^2)f^{(n+1)}(x) + (\text{い})f^{(n)}(x) + (\text{う})f^{(n-1)}(x) = 0$

$f(x) = \arctan x$ より、$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$。

$(1+x^2)f'(x) = 1$。

両辺を$n$回微分する。ライプニッツの公式を用いると、

$(1+x^2)f^{(n+1)}(x) + _nC_1 (2x) f^{(n)}(x) + _nC_2 (2) f^{(n-1)}(x) = 0$.

$(1+x^2)f^{(n+1)}(x) + 2nx f^{(n)}(x) + n(n-1) f^{(n-1)}(x) = 0$.

よって、（い）は$2nx$、（う）は$n(n-1)$。

$f^{(2m)}(0)$と$f^{(2m+1)}(0)$を求める。

$(1+x^2)f^{(n+1)}(x) + 2nx f^{(n)}(x) + n(n-1) f^{(n-1)}(x) = 0$

$x=0$を代入すると、$f^{(n+1)}(0) + n(n-1)f^{(n-1)}(0) = 0$。

$f^{(n+1)}(0) = -n(n-1)f^{(n-1)}(0)$.

$n=2m$のとき、$f^{(2m+1)}(0) = -2m(2m-1) f^{(2m-1)}(0)$.

$f(x) = \arctan x$より、$f(0) = 0$, $f'(0) = 1$, $f''(0) = 0$.

$f^{(2m)}(0) = 0$.

$f^{(2m+1)}(0) = (-1)^m (2m)!$.

(3) $f(x) = \log(1+x^2)$

$f'(x) = \frac{2x}{1+x^2}$

$(1+x^2)f'(x) = 2x$

両辺を$n$回微分する。

$(1+x^2)f^{(n+1)}(x) + n (2x) f^{(n)}(x) + \frac{n(n-1)}{2} (2) f^{(n-1)}(x) = 2 f^{(n-1)}(x)$.

$(1+x^2)f^{(n+1)}(x) + 2nx f^{(n)}(x) + n(n-1) f^{(n-1)}(x) = 2 f^{(n-1)}(x)$.

$(1+x^2)f^{(n+1)}(x) + 2nx f^{(n)}(x) + (n(n-1) - 2) f^{(n-1)}(x) = 0$.

$x=0$を代入すると、$f^{(n+1)}(0) + (n(n-1)-2) f^{(n-1)}(0) = 0$.

$f^{(n+1)}(0) = -(n(n-1)-2) f^{(n-1)}(0)$.

$n = 2m-1$とおくと、$f^{(2m)}(0) = -((2m-1)(2m-2) - 2) f^{(2m-2)}(0) = -(4m^2 - 6m) f^{(2m-2)}(0)$.

$f^{(2m)}(0) = -2m(2m-3)f^{(2m-2)}(0)$.

よって、（か）は $-2m(2m-3)$.

$f(x) = \log(1+x^2)$ より、$f(0) = 0$.

$f'(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ より、$f'(0) = 0$.

$f''(x) = \frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}$ より、$f''(0) = 2$.

$f^{(10)}(0)$ を求める。 $m=5$ より、

$f^{(10)}(0) = -2(5)(2(5)-3)f^{(8)}(0) = -10(7)f^{(8)}(0) = -70 f^{(8)}(0)$.

$f^{(8)}(0) = -2(4)(2(4)-3)f^{(6)}(0) = -8(5)f^{(6)}(0) = -40f^{(6)}(0)$.

$f^{(6)}(0) = -2(3)(2(3)-3)f^{(4)}(0) = -6(3)f^{(4)}(0) = -18f^{(4)}(0)$.

$f^{(4)}(0) = -2(2)(2(2)-3)f^{(2)}(0) = -4(1)f^{(2)}(0) = -4f^{(2)}(0) = -4(2) = -8$.

$f^{(10)}(0) = -70(-40(-18(-8))) = -70(40(144)) = -70(5760) = -403200$.

3. 最終的な答え

(1) あ：$10101e$

(2) い：$2nx$、う：$n(n-1)$、え：$0$、お：$(-1)^m(2m)!$

(3) か：$-2m(2m-3)$、き：$-403200$