与えられた6つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int x^5 dx$ (2) $\int \frac{dx}{x^3}$ (3) $\int x^{\frac{1}{3}} dx$ (4) $\int x^{-\frac{1}{3}} dx$ (5) $\int \sqrt[4]{x} dx$ (6) $\int \frac{dx}{\sqrt{x}}$

1. 問題の内容

与えられた6つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int x^5 dx$

(2) $\int \frac{dx}{x^3}$

(3) $\int x^{\frac{1}{3}} dx$

(4) $\int x^{-\frac{1}{3}} dx$

(5) $\int \sqrt[4]{x} dx$

(6) $\int \frac{dx}{\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

不定積分を計算するために、以下の公式を利用します。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, ($n \neq -1$)

ここで、$C$は積分定数です。

(1) $\int x^5 dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C$

(2) $\int \frac{dx}{x^3} = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

(3) $\int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C$

(4) $\int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C$

(5) $\int \sqrt[4]{x} dx = \int x^{\frac{1}{4}} dx = \frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C$

(6) $\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^6}{6} + C$

(2) $-\frac{1}{2x^2} + C$

(3) $\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C$

(4) $\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C$

(5) $\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C$

(6) $2\sqrt{x} + C$