与えられた関数の高次導関数に関する問題です。具体的には、以下の2つの問題に答えます。 (1) $f(x) = \frac{1}{1-x^2}$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ について、$f^{(n)}(0)$ を求めます。 (2) $f(x) = e^x \sin x$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ について、$f^{(n)}(\frac{\pi}{2} - \frac{n\pi}{4})$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数の高次導関数に関する問題です。具体的には、以下の2つの問題に答えます。

(1) $f(x) = \frac{1}{1-x^2}$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ について、$f^{(n)}(0)$ を求めます。

(2) $f(x) = e^x \sin x$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ について、$f^{(n)}(\frac{\pi}{2} - \frac{n\pi}{4})$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{1-x^2}$ を部分分数分解します。

$f(x) = \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{(1-x)(1+x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x}$

$1 = A(1+x) + B(1-x)$

$x=1$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x=-1$ のとき、$1 = 2B$ より $B = \frac{1}{2}$

したがって、$f(x) = \frac{1}{2}(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x})$

$\frac{1}{1-x}$ の $n$ 階導関数は $\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

$\frac{1}{1+x}$ の $n$ 階導関数は $\frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

よって、$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2} (\frac{n!}{(1-x)^{n+1}} + \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}})$

$f^{(n)}(0) = \frac{1}{2} (n! + (-1)^n n!) = \frac{n!}{2} (1 + (-1)^n)$

$n$ が偶数のとき、$f^{(n)}(0) = \frac{n!}{2} (1+1) = n!$

$n$ が奇数のとき、$f^{(n)}(0) = \frac{n!}{2} (1-1) = 0$

(2) $f(x) = e^x \sin x$ について、

$f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$

$f''(x) = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = e^x (2\cos x)$

$f'''(x) = e^x (2\cos x) + e^x (-2\sin x) = e^x (2\cos x - 2\sin x)$

$f''''(x) = e^x (2\cos x - 2\sin x) + e^x (-2\sin x - 2\cos x) = e^x (-4\sin x)$

一般に、関数 $e^x \sin x$ の $n$ 階導関数は

$f^{(n)}(x) = (\sqrt{2})^n e^x \sin(x + \frac{n\pi}{4})$ と表せる。

したがって、$f^{(n)}(\frac{\pi}{2} - \frac{n\pi}{4}) = (\sqrt{2})^n e^{\frac{\pi}{2} - \frac{n\pi}{4}} \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{n\pi}{4} + \frac{n\pi}{4}) = (\sqrt{2})^n e^{\frac{\pi}{2} - \frac{n\pi}{4}} \sin(\frac{\pi}{2}) = (\sqrt{2})^n e^{\frac{\pi}{2} - \frac{n\pi}{4}}$

3. 最終的な答え

(1) $f^{(n)}(0) = \begin{cases} n! & (n \text{ が偶数のとき}) \\ 0 & (n \text{ が奇数のとき}) \end{cases}$

(2) $f^{(n)}(\frac{\pi}{2} - \frac{n\pi}{4}) = (\sqrt{2})^n e^{\frac{\pi}{2} - \frac{n\pi}{4}}$