次の5つの関数の不定積分を求めます。 (1) $x e^{x^3}$ (2) $\sin 2x \cos 4x$ (3) $\frac{x^3}{x^2 + 4}$ (4) $\frac{e^x}{1 + e^x}$ (5) $\frac{\sin x}{2 + \cos x}$

1. 問題の内容

次の5つの関数の不定積分を求めます。

(1) $x e^{x^3}$

(2) $\sin 2x \cos 4x$

(3) $\frac{x^3}{x^2 + 4}$

(4) $\frac{e^x}{1 + e^x}$

(5) $\frac{\sin x}{2 + \cos x}$

2. 解き方の手順

(1) $x e^{x^3}$ の不定積分

置換積分法を用います。$u = x^3$ とすると、$du = 3x^2 dx$ となります。したがって、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ です。

$$\int x e^{x^3} dx = \int \frac{1}{3} e^u du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{x^3} + C$$

(2) $\sin 2x \cos 4x$ の不定積分

三角関数の積和の公式を用います。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$ より、

$\sin 2x \cos 4x = \frac{1}{2} (\sin(6x) + \sin(-2x)) = \frac{1}{2} (\sin 6x - \sin 2x)$

$$\int \sin 2x \cos 4x dx = \int \frac{1}{2} (\sin 6x - \sin 2x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 6x - \sin 2x) dx$$

$$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{6} \cos 6x + \frac{1}{2} \cos 2x \right) + C = -\frac{1}{12} \cos 6x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$$

(3) $\frac{x^3}{x^2 + 4}$ の不定積分

まず、分子の次数が分母の次数以上なので、割り算を行います。

$x^3 = (x^2 + 4)x - 4x$

よって、$\frac{x^3}{x^2 + 4} = x - \frac{4x}{x^2 + 4}$

$$\int \frac{x^3}{x^2 + 4} dx = \int \left( x - \frac{4x}{x^2 + 4} \right) dx = \int x dx - \int \frac{4x}{x^2 + 4} dx$$

第2項の積分は、置換積分法を用います。$u = x^2 + 4$ とすると、$du = 2x dx$ より、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

$$\int \frac{4x}{x^2 + 4} dx = \int \frac{2}{u} du = 2 \ln |u| + C = 2 \ln (x^2 + 4) + C$$

したがって、

$$\int \frac{x^3}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} x^2 - 2 \ln (x^2 + 4) + C$$

(4) $\frac{e^x}{1 + e^x}$ の不定積分

置換積分法を用います。$u = 1 + e^x$ とすると、$du = e^x dx$ です。

$$\int \frac{e^x}{1 + e^x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln (1 + e^x) + C$$

(5) $\frac{\sin x}{2 + \cos x}$ の不定積分

置換積分法を用います。$u = 2 + \cos x$ とすると、$du = -\sin x dx$ より、$\sin x dx = -du$ です。

$$\int \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx = \int \frac{-1}{u} du = -\ln |u| + C = -\ln |2 + \cos x| + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int x e^{x^3} dx = \frac{1}{3} e^{x^3} + C$

(2) $\int \sin 2x \cos 4x dx = -\frac{1}{12} \cos 6x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(3) $\int \frac{x^3}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} x^2 - 2 \ln (x^2 + 4) + C$

(4) $\int \frac{e^x}{1 + e^x} dx = \ln (1 + e^x) + C$

(5) $\int \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx = -\ln |2 + \cos x| + C$