次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \frac{2x-3}{x+1} dx$ (2) $\int \frac{x^3}{x-2} dx$ (3) $\int \frac{3x^3+5x}{x^2+1} dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{2x-3}{x+1} dx$

(2) $\int \frac{x^3}{x-2} dx$

(3) $\int \frac{3x^3+5x}{x^2+1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{2x-3}{x+1} dx$ の場合:

まず、被積分関数を変形します。

$\frac{2x-3}{x+1} = \frac{2(x+1)-5}{x+1} = 2 - \frac{5}{x+1}$

したがって、

$\int \frac{2x-3}{x+1} dx = \int (2 - \frac{5}{x+1}) dx = 2\int dx - 5\int \frac{1}{x+1} dx$

$= 2x - 5\ln|x+1| + C$

(2) $\int \frac{x^3}{x-2} dx$ の場合:

長除法を使って被積分関数を変形します。

$x^3 = (x^2+2x+4)(x-2) + 8$

したがって、

$\frac{x^3}{x-2} = x^2 + 2x + 4 + \frac{8}{x-2}$

$\int \frac{x^3}{x-2} dx = \int (x^2+2x+4 + \frac{8}{x-2}) dx = \int x^2 dx + 2\int x dx + 4\int dx + 8\int \frac{1}{x-2} dx$

$= \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 4x + 8\ln|x-2| + C$

(3) $\int \frac{3x^3+5x}{x^2+1} dx$ の場合:

長除法を使って被積分関数を変形します。

$3x^3+5x = (3x)(x^2+1) + 2x$

したがって、

$\frac{3x^3+5x}{x^2+1} = 3x + \frac{2x}{x^2+1}$

$\int \frac{3x^3+5x}{x^2+1} dx = \int (3x + \frac{2x}{x^2+1}) dx = 3\int x dx + \int \frac{2x}{x^2+1} dx$

$x^2+1 = t$ と置くと、$2x dx = dt$ より、$\int \frac{2x}{x^2+1} dx = \int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C = \ln(x^2+1) + C$

したがって、

$\int \frac{3x^3+5x}{x^2+1} dx = \frac{3}{2}x^2 + \ln(x^2+1) + C$

3. 最終的な答え

(1) $2x - 5\ln|x+1| + C$

(2) $\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 4x + 8\ln|x-2| + C$

(3) $\frac{3}{2}x^2 + \ln(x^2+1) + C$