与えられた5つの関数について、不定積分を求める問題です。 (1) $x^2 e^{x^3}$ (2) $\sin 2x \cos 4x$ (3) $\frac{x^3}{x^2 + 4}$ (4) $\frac{e^x}{1 + e^x}$ (5) $\frac{\sin x}{2 + \cos x}$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数について、不定積分を求める問題です。

(1) $x^2 e^{x^3}$

(2) $\sin 2x \cos 4x$

(3) $\frac{x^3}{x^2 + 4}$

(4) $\frac{e^x}{1 + e^x}$

(5) $\frac{\sin x}{2 + \cos x}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 e^{x^3}$ の不定積分

$u = x^3$ と置換すると、$du = 3x^2 dx$ となるため、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ となります。

$\int x^2 e^{x^3} dx = \int e^u \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{x^3} + C$

(2) $\sin 2x \cos 4x$ の不定積分

積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$ を利用します。

$\sin 2x \cos 4x = \frac{1}{2} (\sin(2x+4x) + \sin(2x-4x)) = \frac{1}{2} (\sin 6x + \sin(-2x)) = \frac{1}{2} (\sin 6x - \sin 2x)$

$\int \sin 2x \cos 4x dx = \int \frac{1}{2} (\sin 6x - \sin 2x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 6x - \sin 2x) dx = \frac{1}{2} (-\frac{1}{6} \cos 6x + \frac{1}{2} \cos 2x) + C = -\frac{1}{12} \cos 6x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(3) $\frac{x^3}{x^2 + 4}$ の不定積分

$\frac{x^3}{x^2 + 4} = \frac{x^3 + 4x - 4x}{x^2 + 4} = \frac{x(x^2 + 4) - 4x}{x^2 + 4} = x - \frac{4x}{x^2 + 4}$

$\int \frac{x^3}{x^2 + 4} dx = \int (x - \frac{4x}{x^2 + 4}) dx = \int x dx - 4 \int \frac{x}{x^2 + 4} dx$

$u = x^2 + 4$ と置換すると、$du = 2x dx$ となるため、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int \frac{x}{x^2 + 4} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln (x^2 + 4) + C$

$\int \frac{x^3}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} x^2 - 4 (\frac{1}{2} \ln (x^2 + 4)) + C = \frac{1}{2} x^2 - 2 \ln (x^2 + 4) + C$

(4) $\frac{e^x}{1 + e^x}$ の不定積分

$u = 1 + e^x$ と置換すると、$du = e^x dx$ となります。

$\int \frac{e^x}{1 + e^x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln (1 + e^x) + C$

(5) $\frac{\sin x}{2 + \cos x}$ の不定積分

$u = 2 + \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となるため、$\sin x dx = -du$ となります。

$\int \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx = \int \frac{-1}{u} du = - \int \frac{1}{u} du = - \ln |u| + C = - \ln |2 + \cos x| + C = - \ln (2 + \cos x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x^2 e^{x^3} dx = \frac{1}{3} e^{x^3} + C$

(2) $\int \sin 2x \cos 4x dx = -\frac{1}{12} \cos 6x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(3) $\int \frac{x^3}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} x^2 - 2 \ln (x^2 + 4) + C$

(4) $\int \frac{e^x}{1 + e^x} dx = \ln (1 + e^x) + C$

(5) $\int \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx = - \ln (2 + \cos x) + C$