3次関数 $y = x^3 - 3x^2 - 5x$ のグラフと直線 $y = 4x + a$ の共有点の個数を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

3次関数 $y = x^3 - 3x^2 - 5x$ のグラフと直線 $y = 4x + a$ の共有点の個数を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - 3x^2 - 5x = 4x + a$ を満たす $x$ の個数が共有点の個数に等しいので、これを整理します。

$x^3 - 3x^2 - 9x - a = 0$

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$ とおくと、$f(x) = a$ となる $x$ の個数を調べればよいことになります。

次に、$f(x)$ の増減を調べます。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = -1, 3$ のときです。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 3 | ... |

| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | --- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$

$f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27$

したがって、$y = f(x)$ のグラフは、$x = -1$ で極大値 $5$、$x = 3$ で極小値 $-27$ をとります。

$y = f(x)$ と $y = a$ の共有点の個数は、$a$ の値によって以下のように変化します。

* $a < -27$ のとき、共有点は1個

* $a = -27$ のとき、共有点は2個

* $-27 < a < 5$ のとき、共有点は3個

* $a = 5$ のとき、共有点は2個

* $a > 5$ のとき、共有点は1個

3. 最終的な答え

* $a < -27$ のとき、共有点は1個

* $a = -27$ のとき、共有点は2個

* $-27 < a < 5$ のとき、共有点は3個

* $a = 5$ のとき、共有点は2個

* $a > 5$ のとき、共有点は1個

ア：-27, イ：5, ウ：1, エ：2, オ：3

ア：-27〜オ：5