関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 5$ が $x = -3$ と $x = 1$ で極値をとるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 5$ が $x = -3$ と $x = 1$ で極値をとるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x = -3$ と $x = 1$ で極値をとるということは、$f'(x)$ が $x = -3$ と $x = 1$ で $0$ になるということである。

まず、$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f'(-3) = 0$ より

$3(-3)^2 + 2a(-3) + b = 0$

$27 - 6a + b = 0$

$6a - b = 27$ (1)

$f'(1) = 0$ より

$3(1)^2 + 2a(1) + b = 0$

$3 + 2a + b = 0$

$2a + b = -3$ (2)

(1) と (2) の連立方程式を解く。

(1) + (2) より

$6a - b + 2a + b = 27 - 3$

$8a = 24$

$a = 3$

$a = 3$ を (2) に代入する。

$2(3) + b = -3$

$6 + b = -3$

$b = -9$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = -9$