与えられた5つの関数の不定積分を求める問題です。 (1) $x^2e^{x^3}$ (2) $\sin{2x}\cos{4x}$ (3) $\frac{x^3}{x^2+4}$ (4) $\frac{e^x}{1+e^x}$ (5) $\frac{\sin{x}}{2+\cos{x}}$

解析学不定積分置換積分三角関数の積分
2025/7/16

1. 問題の内容

与えられた5つの関数の不定積分を求める問題です。
(1) x2ex3x^2e^{x^3}
(2) sin2xcos4x\sin{2x}\cos{4x}
(3) x3x2+4\frac{x^3}{x^2+4}
(4) ex1+ex\frac{e^x}{1+e^x}
(5) sinx2+cosx\frac{\sin{x}}{2+\cos{x}}

2. 解き方の手順

(1)
u=x3u = x^3 と置換すると, dudx=3x2\frac{du}{dx} = 3x^2 となり, x2dx=13dux^2dx = \frac{1}{3}du となります。
したがって、
x2ex3dx=eu13du=13eu+C=13ex3+C\int x^2 e^{x^3} dx = \int e^u \frac{1}{3} du = \frac{1}{3}e^u + C = \frac{1}{3}e^{x^3} + C
(2)
三角関数の積和の公式を利用します。
sinAcosB=12[sin(A+B)+sin(AB)]\sin{A}\cos{B} = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]
sin2xcos4x=12[sin(2x+4x)+sin(2x4x)]=12[sin6x+sin(2x)]=12[sin6xsin2x]\sin{2x}\cos{4x} = \frac{1}{2}[\sin(2x+4x) + \sin(2x-4x)] = \frac{1}{2}[\sin{6x} + \sin{(-2x)}] = \frac{1}{2}[\sin{6x} - \sin{2x}]
sin2xcos4xdx=12[sin6xsin2x]dx=12(sin6xsin2x)dx\int \sin{2x}\cos{4x} dx = \int \frac{1}{2}[\sin{6x} - \sin{2x}] dx = \frac{1}{2} \int (\sin{6x} - \sin{2x}) dx
=12[16cos6x+12cos2x]+C=112cos6x+14cos2x+C= \frac{1}{2}[-\frac{1}{6}\cos{6x} + \frac{1}{2}\cos{2x}] + C = -\frac{1}{12}\cos{6x} + \frac{1}{4}\cos{2x} + C
(3)
x3x2+4\frac{x^3}{x^2+4} を変形します。
x3x2+4=x(x2+4)4xx2+4=x4xx2+4\frac{x^3}{x^2+4} = \frac{x(x^2+4) - 4x}{x^2+4} = x - \frac{4x}{x^2+4}
x3x2+4dx=(x4xx2+4)dx=xdx4xx2+4dx\int \frac{x^3}{x^2+4} dx = \int (x - \frac{4x}{x^2+4}) dx = \int x dx - \int \frac{4x}{x^2+4} dx
u=x2+4u = x^2+4 と置換すると, dudx=2x\frac{du}{dx} = 2x となり, xdx=12duxdx = \frac{1}{2}du となります。
4xx2+4dx=4u12du=21udu=2lnu+C=2ln(x2+4)+C\int \frac{4x}{x^2+4} dx = \int \frac{4}{u} \frac{1}{2}du = 2 \int \frac{1}{u} du = 2 \ln|u| + C = 2 \ln(x^2+4) + C
x3x2+4dx=x222ln(x2+4)+C\int \frac{x^3}{x^2+4} dx = \frac{x^2}{2} - 2\ln(x^2+4) + C
(4)
u=1+exu = 1+e^x と置換すると, dudx=ex\frac{du}{dx} = e^x となり, exdx=due^xdx = du となります。
ex1+exdx=1udu=lnu+C=ln(1+ex)+C\int \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln(1+e^x) + C
(5)
u=2+cosxu = 2+\cos{x} と置換すると, dudx=sinx\frac{du}{dx} = -\sin{x} となり, sinxdx=du\sin{x}dx = -du となります。
sinx2+cosxdx=1udu=lnu+C=ln2+cosx+C=ln(2+cosx)+C\int \frac{\sin{x}}{2+\cos{x}} dx = \int \frac{-1}{u} du = -\ln|u| + C = -\ln|2+\cos{x}| + C = -\ln(2+\cos{x}) + C

3. 最終的な答え

(1) 13ex3+C\frac{1}{3}e^{x^3} + C
(2) 112cos6x+14cos2x+C-\frac{1}{12}\cos{6x} + \frac{1}{4}\cos{2x} + C
(3) x222ln(x2+4)+C\frac{x^2}{2} - 2\ln(x^2+4) + C
(4) ln(1+ex)+C\ln(1+e^x) + C
(5) ln(2+cosx)+C-\ln(2+\cos{x}) + C

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