Q8は、2次導関数を用いた極値の判定法に関する穴埋め問題です。$f''(a) > 0$かつ$f'(a) = 0$のとき、$x=a$で$f(x)$が極大値をとるか極小値をとるかを問うています。 Q9は、$f'(a) > 0$のとき、$f(x)$のグラフが$x=a$での接線Lに対して、$x<a$ではLの上側から、$a<x$ではLの下側から接しているとき、$x=a$が極大値、極小値、変曲点のいずれであるかを問う選択問題です。

1. 問題の内容

Q8は、2次導関数を用いた極値の判定法に関する穴埋め問題です。$f''(a) > 0$かつ$f'(a) = 0$のとき、$x=a$で$f(x)$が極大値をとるか極小値をとるかを問うています。

Q9は、$f'(a) > 0$のとき、$f(x)$のグラフが$x=a$での接線Lに対して、$x<a$ではLの上側から、$a<x$ではLの下側から接しているとき、$x=a$が極大値、極小値、変曲点のいずれであるかを問う選択問題です。

2. 解き方の手順

Q8:

* $f''(a) > 0$は、$x=a$でグラフが下に凸であることを意味します。

* $f'(a) = 0$は、$x=a$で接線の傾きが0であることを意味します。

* したがって、$x=a$でグラフは下に凸で、接線が水平なので、$f(a)$は周囲の値$f(x)$よりも小さくなり、$f(x)$は$x=a$で極小値をとります。

Q9:

* $f'(a) > 0$なので、x=aでの接線の傾きは正です。

* $x<a$では接線Lの上側から接し、$a<x$ではLの下側から接しているので、x=aでグラフの凹凸が変わります。

* これは変曲点の定義に合致します。

3. 最終的な答え

Q8: (1: 小さく, 2: 極小値をとる)

Q9: (変曲点である)