関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x}$ （$0 < x < \frac{\pi}{2}$） の連続性を調べる。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x}$ （$0 < x < \frac{\pi}{2}$） の連続性を調べる。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$ の値によって場合分けをする。

* $0 < x < \frac{\pi}{4}$ のとき、$0 < \tan x < 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \tan^n x = 0$。したがって、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x} = \frac{0}{1+0} = 0$

* $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\tan x = 1$ であるから、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n+1}}{1 + 1^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

* $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan x > 1$ であるから、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x} = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x / \tan^n x}{(1 + \tan^n x) / \tan^n x} = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan x}{\frac{1}{\tan^n x} + 1}$。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\tan^n x} = 0$ であるから、

$f(x) = \frac{\tan x}{0 + 1} = \tan x$

よって、$f(x)$ は次のように表される。

$ f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < \frac{\pi}{4}) \\

\frac{1}{2} & (x = \frac{\pi}{4}) \\

\tan x & (\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2})

\end{cases}

$$

$x = \frac{\pi}{4}$ における連続性を調べる。

$\lim_{x \to (\frac{\pi}{4} - 0)} f(x) = \lim_{x \to (\frac{\pi}{4} - 0)} 0 = 0$

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to (\frac{\pi}{4} + 0)} f(x) = \lim_{x \to (\frac{\pi}{4} + 0)} \tan x = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

$\lim_{x \to (\frac{\pi}{4} - 0)} f(x) \neq f(\frac{\pi}{4})$ かつ $f(\frac{\pi}{4}) \neq \lim_{x \to (\frac{\pi}{4} + 0)} f(x)$なので、$x = \frac{\pi}{4}$ において不連続。

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ において、$f(x) = 0$ は連続。

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ において、$f(x) = \tan x$ は連続。

3. 最終的な答え

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{4}$ で不連続であり、それ以外の点で連続である。