## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた10個の不定積分を計算する問題です。

## 解き方の手順

**（１）$\int (5x^4 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^4} - 2) dx$**

各項ごとに積分を行います。

$\int 5x^4 dx = x^5$

$\int \frac{4}{x} dx = 4\ln|x|$

$\int -\frac{1}{x^4} dx = \int -x^{-4} dx = \frac{1}{3}x^{-3} = \frac{1}{3x^3}$

$\int -2 dx = -2x$

したがって、

$\int (5x^4 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^4} - 2) dx = x^5 + 4\ln|x| + \frac{1}{3x^3} - 2x + C$

**（２）$\int (\frac{3}{\cos^2x} - \frac{2}{\sin^2x}) dx$**

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$であり、$\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$です。

$\int \sec^2 x dx = \tan x$

$\int \csc^2 x dx = -\cot x$

したがって、

$\int (\frac{3}{\cos^2x} - \frac{2}{\sin^2x}) dx = 3\tan x + 2\cot x + C$

**（３）$\int \sqrt[3]{6x+7} dx$**

$u = 6x + 7$とおくと、$du = 6dx$なので、$dx = \frac{1}{6}du$

$\int \sqrt[3]{6x+7} dx = \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3}} du = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C = \frac{1}{8}(6x+7)^{\frac{4}{3}} + C$

**（４）$\int \cos(3t+2) dt$**

$u = 3t + 2$とおくと、$du = 3dt$なので、$dt = \frac{1}{3}du$

$\int \cos(3t+2) dt = \int \cos(u) \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \sin(u) + C = \frac{1}{3}\sin(3t+2) + C$

**（５）$\int 2^{5x+2} dx$**

$u = 5x+2$とおくと、$du = 5dx$なので、$dx = \frac{1}{5}du$

$\int 2^{5x+2} dx = \int 2^u \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \frac{2^u}{\ln 2} + C = \frac{2^{5x+2}}{5\ln 2} + C$

**（６）$\int \frac{3x-1}{\sqrt{x+1}} dx$**

$u = x+1$とおくと、$x = u-1$、$dx = du$

$\int \frac{3x-1}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{3(u-1)-1}{\sqrt{u}} du = \int \frac{3u-4}{\sqrt{u}} du = \int (3u^{\frac{1}{2}} - 4u^{-\frac{1}{2}}) du = 3\cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C = 2u^{\frac{3}{2}} - 8u^{\frac{1}{2}} + C = 2(x+1)^{\frac{3}{2}} - 8(x+1)^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x+1}(x+1-4) + C = 2\sqrt{x+1}(x-3) + C$

**（７）$\int \sin^2 x \cos x dx$**

$u = \sin x$とおくと、$du = \cos x dx$

$\int \sin^2 x \cos x dx = \int u^2 du = \frac{1}{3}u^3 + C = \frac{1}{3}\sin^3 x + C$

**（８）$\int (2x+1)e^{x^2+x+5} dx$**

$u = x^2+x+5$とおくと、$du = (2x+1)dx$

$\int (2x+1)e^{x^2+x+5} dx = \int e^u du = e^u + C = e^{x^2+x+5} + C$

**（９）$\int x^2 \cos x dx$**

部分積分を行います。

$u = x^2$、$dv = \cos x dx$とすると、$du = 2x dx$、$v = \sin x$

$\int x^2 \cos x dx = x^2\sin x - \int 2x\sin x dx = x^2\sin x - 2\int x\sin x dx$

さらに、部分積分を行います。

$u = x$、$dv = \sin x dx$とすると、$du = dx$、$v = -\cos x$

$\int x\sin x dx = -x\cos x - \int -\cos x dx = -x\cos x + \sin x + C$

$\int x^2 \cos x dx = x^2\sin x - 2(-x\cos x + \sin x) + C = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$

**（１０）$\int \frac{x}{(x-1)(2x-1)} dx$**

部分分数分解を行います。

$\frac{x}{(x-1)(2x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{2x-1}$

$x = A(2x-1) + B(x-1)$

$x = 1$のとき、$1 = A(2-1) + B(0) \Rightarrow A = 1$

$x = \frac{1}{2}$のとき、$\frac{1}{2} = A(0) + B(\frac{1}{2}-1) \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}B \Rightarrow B = -1$

$\int \frac{x}{(x-1)(2x-1)} dx = \int (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{2x-1}) dx = \ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|2x-1| + C$

## 最終的な答え

(1) $x^5 + 4\ln|x| + \frac{1}{3x^3} - 2x + C$

(2) $3\tan x + 2\cot x + C$

(3) $\frac{1}{8}(6x+7)^{\frac{4}{3}} + C$

(4) $\frac{1}{3}\sin(3t+2) + C$

(5) $\frac{2^{5x+2}}{5\ln 2} + C$

(6) $2\sqrt{x+1}(x-3) + C$

(7) $\frac{1}{3}\sin^3 x + C$

(8) $e^{x^2+x+5} + C$

(9) $x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$

(10) $\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|2x-1| + C$