## 定積分の問題

## 定積分の問題

次の定積分を求めます。

(1) $\int_{0}^{2} |e^x - 3| dx$

(2) $\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx$

(3) $\int_{-2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^2}}$

(4) $\int_{-e}^{e} x^3 e^{x^2} dx$

(5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx$

(6) $\int_{0}^{1} \sqrt{2x - x^2} dx$

## 解き方の手順

**(1) $\int_{0}^{2} |e^x - 3| dx$**

絶対値を外すために、$e^x - 3 = 0$ となる $x$ を求めます。 $e^x = 3$ より $x = \log 3$ です。

よって、積分範囲を $0 \le x \le \log 3$ と $\log 3 \le x \le 2$ に分けます。

$\int_{0}^{2} |e^x - 3| dx = \int_{0}^{\log 3} (3 - e^x) dx + \int_{\log 3}^{2} (e^x - 3) dx$

$= [3x - e^x]_{0}^{\log 3} + [e^x - 3x]_{\log 3}^{2}$

$= (3 \log 3 - 3) - (0 - 1) + (e^2 - 6) - (3 - 3 \log 3)$

$= 6 \log 3 + e^2 - 11$

**(2) $\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx$**

$x = 3 \sin \theta$ と置換します。 $dx = 3 \cos \theta d\theta$

$x: 0 \rightarrow 3$ のとき $\theta: 0 \rightarrow \frac{\pi}{2}$

$\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9 - 9 \sin^2 \theta} \cdot 3 \cos \theta d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3 \cos \theta \cdot 3 \cos \theta d\theta$

$= 9 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta$

$= 9 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta$

$= 9 \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= 9 \left( \frac{\pi}{4} + 0 - (0 + 0) \right) = \frac{9\pi}{4}$

**(3) $\int_{-2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^2}}$**

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + C$ の公式を使います。

ここでは $a = 4$ なので、

$\int_{-2}^{2\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{16 - x^2}} = \left[ \arcsin \frac{x}{4} \right]_{-2}^{2\sqrt{3}}$

$= \arcsin \frac{2\sqrt{3}}{4} - \arcsin \frac{-2}{4}$

$= \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} - \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right)$

$= \frac{\pi}{3} - \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

**(4) $\int_{-e}^{e} x^3 e^{x^2} dx$**

被積分関数 $f(x) = x^3 e^{x^2}$ は奇関数 ($f(-x) = -f(x)$) です。

積分区間が $[-a, a]$ の形のとき、奇関数の定積分は 0 になります。

$\int_{-e}^{e} x^3 e^{x^2} dx = 0$

**(5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx$**

$\sin^3 x = \sin x (1 - \cos^2 x)$ と変形します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x (1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\sin x}{\cos^2 x} - \sin x \right) dx$

$t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x dx$

$x: 0 \rightarrow \frac{\pi}{4}$ のとき $t: 1 \rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( -\frac{1}{t^2} + 1 \right) dt = \left[ \frac{1}{t} + t \right]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$= \left( \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - (1 + 1) = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 = \frac{3\sqrt{2}}{2} - 2$

**(6) $\int_{0}^{1} \sqrt{2x - x^2} dx$**

平方完成します。

$\sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (x^2 - 2x + 1)} = \sqrt{1 - (x - 1)^2}$

$x - 1 = \sin \theta$ と置換します。 $dx = \cos \theta d\theta$

$x: 0 \rightarrow 1$ のとき $\theta: -\frac{\pi}{2} \rightarrow 0$

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - (x - 1)^2} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cdot \cos \theta d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos^2 \theta d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta$

$= \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}$

$= (0 + 0) - \left( -\frac{\pi}{4} + 0 \right) = \frac{\pi}{4}$

## 最終的な答え

(1) $6 \log 3 + e^2 - 11$

(2) $\frac{9\pi}{4}$

(3) $\frac{\pi}{2}$

(4) $0$

(5) $\frac{3\sqrt{2}}{2} - 2$

(6) $\frac{\pi}{4}$