与えられた2つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2} dx$ (2) $\int x \sin^{-1} x dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2} dx$

(2) $\int x \sin^{-1} x dx$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を用いて積分を計算します。

まず、被積分関数を部分分数に分解します。

$\frac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x-1} + \frac{D}{(x-1)^2}$

両辺に $(x^2+1)(x-1)^2$ を掛けると、

$-2x+4 = (Ax+B)(x-1)^2 + C(x^2+1)(x-1) + D(x^2+1)$

$-2x+4 = (Ax+B)(x^2-2x+1) + C(x^3-x^2+x-1) + D(x^2+1)$

$-2x+4 = Ax^3-2Ax^2+Ax+Bx^2-2Bx+B + Cx^3-Cx^2+Cx-C + Dx^2+D$

$-2x+4 = (A+C)x^3 + (-2A+B-C+D)x^2 + (A-2B+C)x + (B-C+D)$

係数を比較して、

$A+C = 0$

$-2A+B-C+D = 0$

$A-2B+C = -2$

$B-C+D = 4$

これらの連立方程式を解きます。$C = -A$ より、

$-2A+B+A+D = 0 \Rightarrow -A+B+D = 0$

$A-2B-A = -2 \Rightarrow -2B = -2 \Rightarrow B = 1$

$1+A+D = 4 \Rightarrow A+D = 3$

$-A+1+D = 0 \Rightarrow -A+D = -1$

$A+D=3$と$-A+D=-1$を足すと、$2D=2$より$D=1$。すると、$A=2$。

$C = -A = -2$

したがって、$A=2, B=1, C=-2, D=1$。

$\int \frac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2} dx = \int \frac{2x+1}{x^2+1} dx + \int \frac{-2}{x-1} dx + \int \frac{1}{(x-1)^2} dx$

$= \int \frac{2x}{x^2+1} dx + \int \frac{1}{x^2+1} dx -2\int \frac{1}{x-1} dx + \int (x-1)^{-2} dx$

$= \ln(x^2+1) + \arctan x -2\ln|x-1| - (x-1)^{-1} + C$

$= \ln(x^2+1) + \arctan x -2\ln|x-1| - \frac{1}{x-1} + C$

(2) 部分積分を用いて積分を計算します。

$\int x \sin^{-1} x dx$

$u = \sin^{-1} x$ と $dv = x dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$、 $v = \frac{x^2}{2}$

$\int x \sin^{-1} x dx = \frac{x^2}{2} \sin^{-1} x - \int \frac{x^2}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$= \frac{x^2}{2} \sin^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$x = \sin\theta$ とおくと、$dx = \cos\theta d\theta$

$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} \cos\theta d\theta = \int \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \cos\theta d\theta = \int \sin^2\theta d\theta$

$= \int \frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\sin 2\theta + C$

$= \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}(2\sin\theta\cos\theta) + C = \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{2}\sin\theta\cos\theta + C$

$= \frac{1}{2}\sin^{-1} x - \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$

したがって、

$\int x \sin^{-1} x dx = \frac{x^2}{2} \sin^{-1} x - \frac{1}{2} (\frac{1}{2}\sin^{-1} x - \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2}) + C$

$= \frac{x^2}{2} \sin^{-1} x - \frac{1}{4}\sin^{-1} x + \frac{1}{4} x \sqrt{1-x^2} + C$

$= (\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}) \sin^{-1} x + \frac{1}{4} x \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\ln(x^2+1) + \arctan x -2\ln|x-1| - \frac{1}{x-1} + C$

(2) $(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}) \sin^{-1} x + \frac{1}{4} x \sqrt{1-x^2} + C$