定積分 $\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x(x+2) = x^2 + 2x$ とおきます。

$f(x) = 0$ となるのは、$x=0$ または $x=-2$ のときです。

積分区間 $-1 \leq x \leq 3$ において、$f(x)$ の符号を調べます。

- $-1 \leq x < 0$ のとき、$x+2 > 0$ なので、$x(x+2) < 0$ となります。

- $0 < x \leq 3$ のとき、$x+2 > 0$ なので、$x(x+2) > 0$ となります。

したがって、積分区間を分割して計算します。

$\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx = \int_{-1}^{0} -x(x+2) dx + \int_{0}^{3} x(x+2) dx$

$\int_{-1}^{0} -x(x+2) dx = \int_{-1}^{0} (-x^2 - 2x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 - x^2]_{-1}^{0} = (0) - (-\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2) = - (\frac{1}{3} - 1) = - (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$

$\int_{0}^{3} x(x+2) dx = \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx = [\frac{1}{3}x^3 + x^2]_{0}^{3} = (\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2) - (0) = \frac{27}{3} + 9 = 9 + 9 = 18$

$\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx = \frac{2}{3} + 18 = \frac{2}{3} + \frac{54}{3} = \frac{56}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{56}{3}$