与えられた極限の値を、指定された変数変換を用いて求めます。 (1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2x - \pi}$ で、$2x - \pi = t$ という変数変換を用います。 (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{2} \sin \frac{1}{x}$ で、$\frac{1}{x} = t$ という変数変換を用います。 (3) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x}$ で、$\pi - x = t$ という変数変換を用います。 (4) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x+1} \sin \frac{2}{\sqrt{x}}$ で、$\frac{2}{\sqrt{x}} = t$ という変数変換を用います。

1. 問題の内容

与えられた極限の値を、指定された変数変換を用いて求めます。

(1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2x - \pi}$ で、$2x - \pi = t$ という変数変換を用います。

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{2} \sin \frac{1}{x}$ で、$\frac{1}{x} = t$ という変数変換を用います。

(3) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x}$ で、$\pi - x = t$ という変数変換を用います。

(4) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x+1} \sin \frac{2}{\sqrt{x}}$ で、$\frac{2}{\sqrt{x}} = t$ という変数変換を用います。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2x - \pi}$

$2x - \pi = t$ とおくと、$x = \frac{t + \pi}{2}$。$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t \to 0$。

$\cos x = \cos(\frac{t + \pi}{2}) = -\sin(\frac{t}{2})$

よって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2x - \pi} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(\frac{t}{2})}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(\frac{t}{2})}{2 \cdot \frac{t}{2}} = -\frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\sin(\frac{t}{2})}{\frac{t}{2}} = -\frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{2} \sin \frac{1}{x}$

$\frac{1}{x} = t$ とおくと、$x = \frac{1}{t}$。$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{2} \sin \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{t} - 1}{2} \sin t = \lim_{t \to 0} \frac{1 - t}{2t} \sin t = \lim_{t \to 0} \frac{1-t}{2} \cdot \frac{\sin t}{t} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

(3) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x}$

$\pi - x = t$ とおくと、$x = \pi - t$。$x \to \pi$ のとき、$t \to 0$。

$\sin x = \sin(\pi - t) = \sin t$

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

(4) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x+1} \sin \frac{2}{\sqrt{x}}$

$\frac{2}{\sqrt{x}} = t$ とおくと、$\sqrt{x} = \frac{2}{t}$、$x = \frac{4}{t^2}$。$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$。

$\sqrt{x+1} = \sqrt{\frac{4}{t^2} + 1} = \sqrt{\frac{4+t^2}{t^2}} = \frac{\sqrt{4+t^2}}{t}$

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x+1} \sin \frac{2}{\sqrt{x}} = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{4+t^2}}{t} \sin t = \lim_{t \to 0} \sqrt{4+t^2} \cdot \frac{\sin t}{t} = \sqrt{4+0} \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

(1) -1/2

(2) 1/2

(3) 1

(4) 2